Las matemáticas están detrás de todos ellos
En este original video podemos ver algo de la belleza de las matemáticas aplicadas a la vida real.
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jueves, 29 de mayo de 2014
1318 - La belleza de las matemáticas
¿Qué tienen en común el giro de un trompo, el viento, los copos de nieve, el juego de Backgamon, un circuito, la lupa, etc, etc?
Las matemáticas están detrás de todos ellos
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Las matemáticas están detrás de todos ellos
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miércoles, 28 de mayo de 2014
1317 - Que no sume como un múltiplo
¿Cuál es la cadena de números consecutivos enteros y positivos que se puede encontrar tal que ninguno de ellos tenga una suma digital igual a 11 o a alguno de sus múltiplos?
Por ejemplo si empezamos por el 1, la cadena tendría 28 números (del 1 al 28), ya que el 29 tiene una suma digital igual a 11 (2+9)
¿Cuál es la cadena de números consecutivos enteros y positivos que se puede encontrar tal que ninguno de ellos tenga una suma digital igual a 13 o a alguno de sus múltiplos?
Por ejemplo si empezamos por el 1, la cadena tendría 48 números ya que el 49 tiene una suma digital igual a 13 (4+9)
¿Se puede hacer una generalización para este tipo de problemas?
Tratar de resolverlo sin ayuda de la computadora
Por ejemplo si empezamos por el 1, la cadena tendría 28 números (del 1 al 28), ya que el 29 tiene una suma digital igual a 11 (2+9)
¿Cuál es la cadena de números consecutivos enteros y positivos que se puede encontrar tal que ninguno de ellos tenga una suma digital igual a 13 o a alguno de sus múltiplos?
Por ejemplo si empezamos por el 1, la cadena tendría 48 números ya que el 49 tiene una suma digital igual a 13 (4+9)
¿Se puede hacer una generalización para este tipo de problemas?
Tratar de resolverlo sin ayuda de la computadora
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lunes, 26 de mayo de 2014
1316 - El doble "sin" que "con"
Está vez cuento los números desde el uno hasta N para ver cuando la cantidad de números que contienen al menos una vez un determinado dígito es el doble de la cantidad de los que no lo contienen.
Así por ejemplo cuando llego al TRES veo que la condición se cumple para tres números (1,2 y 3) y cuando llego al DOCE se cumple para el uno, ocho no lo contienen (2,3,4,5,6,7,8,9) y cuatro si lo contienen (1,10,11 y 12).
En el siguiente cuadrito se pueden ver las primeros números en los que se cumple la condición para los dígitos indicados:
Así por ejemplo cuando llego al TRES veo que la condición se cumple para tres números (1,2 y 3) y cuando llego al DOCE se cumple para el uno, ocho no lo contienen (2,3,4,5,6,7,8,9) y cuatro si lo contienen (1,10,11 y 12).
En el siguiente cuadrito se pueden ver las primeros números en los que se cumple la condición para los dígitos indicados:
:
a) Existen dos números en que la condición se cumple para seis dígitos, ¿Cuáles son dichos números?
b) ¿Cuál es el primer número en que la condición se cumple para el cero?
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viernes, 23 de mayo de 2014
1315 - Golígonos, Goliedros y demás
El otro día leyendo la página Math overflow me enteré de la existencia de los Golígonos.
Un golígono (técnicamente llamado "isógono serial de 90 grados") es cualquier polígono con todos los ángulos rectos, cuya longitud de los lados son una secuencia de números enteros. Los golígonos fueron inventados y nombrados por Lee Sallows, y popularizados por A.K. Dewdney en la columna de Scientific American de 1990.
Así lo presentaban en la revista:
"Permítanme introducirlos a un viaje en Golygon City. Usted puede realizar un viaje similar en Nueva York, Kioto o en casi cualquier gran ciudad cuyas calles forman una cuadrícula . Aquí están sus instrucciones. Camine una sola calle de la ciudad en cualquier dirección, al final de la misma gire a la izquierda o a la derecha y. camine dos cuadras más, luego gire nuevamente a la izquierda o a la derecha, y camine ahora otras tres calles mas, y así sucesivamente. Cada vez que gira, debe caminar en línea recta una cuadra más que antes. Si después de una serie de giros llega a su punto de partida, es que ha trazado un golígono. Si usted no quiere hacer ejercicio físico, puede simular fácilmente el viaje al mover un lápiz a lo largo de un pedazo de papel cuadriculado . Si queda perdido, puede ver al mapa a continuación. "
Una forma de describir a un goligono es usando puntos cardinales, así el golígono de la imagen puede describirse como : 1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
Donde N,S, E y W significan Norte, Sur, Este y Oeste
En cualquier golígono, todos los lados horizontales tienen la misma paridad, así como también pasa en los lados verticales. Por lo tanto, el número n de lados debe permitir la solución en un sistema de ecuaciones.
No se permite pasar dos veces por un mismo punto
Un dato interesante es que se puede teselar una superficie usando golígonos:
A partir de allí muchas preguntas surgieron:
a) ¿Cuantos golígonos diferentes de 16 lados existen?
b) ¿Es posible formar golígonos con lados primos?
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
Todas estas preguntas ya fueron respondidas
a) Es posible formar 72 golígonos distintos de 16 lados
Un ejemplo:
1N 2E 3N 4E 5S 6E 7S 8E 9S 10W 11S 12W 13N 14W 15N 16E
El número total de golígonos de 16 lados es 112.
En la Oeis aparece la siguiente secuencia A007618: 4, 112, 8432, 909288, 121106960, 18167084064, 2956370702688, 510696155882492, 92343039606440064, 17311893232788414400, 3342127071364266721200 que indica la cantidad de golígonos de largo 8n
b) Golígono con 16 lados primos :
1N 3E 5N 7W 11N 13W 17N 19E 23N 29W 31N 37E 41S 43E 47S 53W y
1N 3E 5S 7W 11S 13W 17N 19E 23N 29W 31S 37E 41S 43E 47N 53W
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
La respuesta es sí :
1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
2N 3E 4S 5W 6S 7W 8N 9E
3N 4E 5S 6W 7S 8W 9N 10E
etc
Podemos seguir indefinidamente porque si vemos las direcciones del primer golígono obtenemos las siguientes ecuaciones
1-3-5+7 =0 y 2-4-6+8 = 0, en los siguientes golígonos lo único que hacemos es sumarle 1 a cada término por lo que la igualdad se mantiene (sumamos y restamos 2)
Lo que preguntó Joe O’Rourke en Mathoverflow era si existia un goliedro, es decir una versión 3D de un golígono.
Adam P Goucher leyó el post y construyó el primer goliedro que se conoce que tiene 32 caras
Adam escribió un post en su blog en el cual explica como lo obtuvo.
Alexey Nigin recientemente descubrió este goliedro mas pequeño de solo 15 lados:
Actualización : Alexey Nigin encontró este Goliedro de 12 lados
Una idea que se me ocurrió leyendo sobre los golígonos es si podía haber alguno en que los lados horizontales fueran números consecutivos desde el 1 hasta n y los verticales los números que van de n+1 hasta 2n.
Evidentemente existen estas figuras ya que por ejemplo 1-2-3+4 = 0 y 5-6-7+8=0
Así por ejemplo podemos formar la siguiente figura 1E 5S 2W 6N 3W 7N 4E 8S
También se pueden hacer polígonos con lados que sean números de Fibonacci con una cantidad de lados horizontales y verticales múltiplos de 3 (ya que siempre Fi + Fi+1 = Fi+2)
Ejemplo: 1E 5S 2E 8S 3W 13N
¿Qué otras variantes para los golígonos se les ocurre?
Pd: aquí está el golígono de 8 lados primos consecutivos que me envió Carlos Rivera, empieza en el 359
y este es el de 16 lados primos consecutivos, también encontrado por Carlos Rivera
Fuentes :
Golígono en Wikipedia
Mathoverflow
Cp4 Golygons and Golyhedra
Golygons el sitio de Harry Smith
Oeis A006718
Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.
Esta entrada ganó como mejor post de dicha edición del carnaval de matemáticas
Un golígono (técnicamente llamado "isógono serial de 90 grados") es cualquier polígono con todos los ángulos rectos, cuya longitud de los lados son una secuencia de números enteros. Los golígonos fueron inventados y nombrados por Lee Sallows, y popularizados por A.K. Dewdney en la columna de Scientific American de 1990.
Así lo presentaban en la revista:
"Permítanme introducirlos a un viaje en Golygon City. Usted puede realizar un viaje similar en Nueva York, Kioto o en casi cualquier gran ciudad cuyas calles forman una cuadrícula . Aquí están sus instrucciones. Camine una sola calle de la ciudad en cualquier dirección, al final de la misma gire a la izquierda o a la derecha y. camine dos cuadras más, luego gire nuevamente a la izquierda o a la derecha, y camine ahora otras tres calles mas, y así sucesivamente. Cada vez que gira, debe caminar en línea recta una cuadra más que antes. Si después de una serie de giros llega a su punto de partida, es que ha trazado un golígono. Si usted no quiere hacer ejercicio físico, puede simular fácilmente el viaje al mover un lápiz a lo largo de un pedazo de papel cuadriculado . Si queda perdido, puede ver al mapa a continuación. "
Una forma de describir a un goligono es usando puntos cardinales, así el golígono de la imagen puede describirse como : 1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
Donde N,S, E y W significan Norte, Sur, Este y Oeste
En cualquier golígono, todos los lados horizontales tienen la misma paridad, así como también pasa en los lados verticales. Por lo tanto, el número n de lados debe permitir la solución en un sistema de ecuaciones.
No se permite pasar dos veces por un mismo punto
Un dato interesante es que se puede teselar una superficie usando golígonos:
A partir de allí muchas preguntas surgieron:
a) ¿Cuantos golígonos diferentes de 16 lados existen?
b) ¿Es posible formar golígonos con lados primos?
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
Todas estas preguntas ya fueron respondidas
a) Es posible formar 72 golígonos distintos de 16 lados
Un ejemplo:
1N 2E 3N 4E 5S 6E 7S 8E 9S 10W 11S 12W 13N 14W 15N 16E
El número total de golígonos de 16 lados es 112.
En la Oeis aparece la siguiente secuencia A007618: 4, 112, 8432, 909288, 121106960, 18167084064, 2956370702688, 510696155882492, 92343039606440064, 17311893232788414400, 3342127071364266721200 que indica la cantidad de golígonos de largo 8n
b) Golígono con 16 lados primos :
1N 3E 5N 7W 11N 13W 17N 19E 23N 29W 31N 37E 41S 43E 47S 53W y
1N 3E 5S 7W 11S 13W 17N 19E 23N 29W 31S 37E 41S 43E 47N 53W
 |
| Golígono con lados primos |
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
La respuesta es sí :
1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
2N 3E 4S 5W 6S 7W 8N 9E
3N 4E 5S 6W 7S 8W 9N 10E
etc
Podemos seguir indefinidamente porque si vemos las direcciones del primer golígono obtenemos las siguientes ecuaciones
1-3-5+7 =0 y 2-4-6+8 = 0, en los siguientes golígonos lo único que hacemos es sumarle 1 a cada término por lo que la igualdad se mantiene (sumamos y restamos 2)
Lo que preguntó Joe O’Rourke en Mathoverflow era si existia un goliedro, es decir una versión 3D de un golígono.
Adam P Goucher leyó el post y construyó el primer goliedro que se conoce que tiene 32 caras
Adam escribió un post en su blog en el cual explica como lo obtuvo.
Alexey Nigin recientemente descubrió este goliedro mas pequeño de solo 15 lados:
Actualización : Alexey Nigin encontró este Goliedro de 12 lados
Una idea que se me ocurrió leyendo sobre los golígonos es si podía haber alguno en que los lados horizontales fueran números consecutivos desde el 1 hasta n y los verticales los números que van de n+1 hasta 2n.
Evidentemente existen estas figuras ya que por ejemplo 1-2-3+4 = 0 y 5-6-7+8=0
Así por ejemplo podemos formar la siguiente figura 1E 5S 2W 6N 3W 7N 4E 8S
También se pueden hacer polígonos con lados que sean números de Fibonacci con una cantidad de lados horizontales y verticales múltiplos de 3 (ya que siempre Fi + Fi+1 = Fi+2)
Ejemplo: 1E 5S 2E 8S 3W 13N
¿Qué otras variantes para los golígonos se les ocurre?
Pd: aquí está el golígono de 8 lados primos consecutivos que me envió Carlos Rivera, empieza en el 359
Fuentes :
Golígono en Wikipedia
Mathoverflow
Cp4 Golygons and Golyhedra
Golygons el sitio de Harry Smith
Oeis A006718
Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.
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jueves, 22 de mayo de 2014
1314 - Sigo contando
En la entrada anterior vimos que hay números que si contamos desde el uno la cantidad de números que tienen un "1" y la cantidad de números que no lo contienen obtenemos el mismo número.
Estos números son 2, 16, 24, 160, 270, 272, 1456, 3398, 3418, 3420, etc
Es decir que hasta el 160 por ejemplo hay 80 números que tienen al menos un "1" y ochenta que no lo tienen.
Algo curioso ocurre con el 3398, ya que no solo los números que tienen al menos un "1" es igual a los que no lo contienen (1699), sino que lo mismo ocurre con los números que contienen al menos un "2" y los que no lo contienen.
Hasta 3398
Numeros que tienen al menos un "1" : 1699
Números que no tienen ningún "1" : 1699
y
Numeros que tienen al menos un "2" : 1699
Números que no tienen ningún "2" : 1699
Existen al menos dos numeros en los que esto ocurre pero con tres dígitos diferentes en vez de dos
O sea que hasta N
Números que tienen al menos un "a" : N/2
Números que no tienen ningún "a" : N/2
Números que tienen al menos un "b" : N/2
Números que no tienen ningún "b" : N/2
Números que tienen al menos un "c" : N/2
Números que no tienen ningún "c" : N/2
Donde a, b y c son tres dígitos distintos
Encontrar N
Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.
Estos números son 2, 16, 24, 160, 270, 272, 1456, 3398, 3418, 3420, etc
Es decir que hasta el 160 por ejemplo hay 80 números que tienen al menos un "1" y ochenta que no lo tienen.
Algo curioso ocurre con el 3398, ya que no solo los números que tienen al menos un "1" es igual a los que no lo contienen (1699), sino que lo mismo ocurre con los números que contienen al menos un "2" y los que no lo contienen.
Hasta 3398
Numeros que tienen al menos un "1" : 1699
Números que no tienen ningún "1" : 1699
y
Numeros que tienen al menos un "2" : 1699
Números que no tienen ningún "2" : 1699
Existen al menos dos numeros en los que esto ocurre pero con tres dígitos diferentes en vez de dos
O sea que hasta N
Números que tienen al menos un "a" : N/2
Números que no tienen ningún "a" : N/2
Números que tienen al menos un "b" : N/2
Números que no tienen ningún "b" : N/2
Números que tienen al menos un "c" : N/2
Números que no tienen ningún "c" : N/2
Donde a, b y c son tres dígitos distintos
Encontrar N
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lunes, 19 de mayo de 2014
1313 - Contando unos
El otro día estuve contando los números que tienen unos.
Hasta el 2 encontré que había uno que tenía un "1", y uno que no tenía un "1"
Seguí contando y cuando llegué al 16 encontré que había ocho que tenían al menos un "1" y ocho que no contenían un "1".
La siguiente igualdad se presentó en el 24 con doce que tenían al menos un uno y 12 sin unos.
Seguí buscando y encontré varios números hasta los cuales la cantidad de números con al menos un "1" era igual a la que no contenían unos.
Preguntas
- ¿Quien puede continuar la serie : 2, 16, 24, ... ? (yo tengo solo 16 términos).
- En la serie aparecen tres números separados por 2 unidades cada uno (k, k+2, k+4), hay grupo así en la serie?
- ¿Es una serie finita o infinita?
Hasta el 2 encontré que había uno que tenía un "1", y uno que no tenía un "1"
Seguí contando y cuando llegué al 16 encontré que había ocho que tenían al menos un "1" y ocho que no contenían un "1".
La siguiente igualdad se presentó en el 24 con doce que tenían al menos un uno y 12 sin unos.
Seguí buscando y encontré varios números hasta los cuales la cantidad de números con al menos un "1" era igual a la que no contenían unos.
Preguntas
- ¿Quien puede continuar la serie : 2, 16, 24, ... ? (yo tengo solo 16 términos).
- En la serie aparecen tres números separados por 2 unidades cada uno (k, k+2, k+4), hay grupo así en la serie?
- ¿Es una serie finita o infinita?
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viernes, 16 de mayo de 2014
1312 - Billete Pandigital
El otro día me encontré con el siguiente billete:
Como verán es un billete de dos pesos cuya numeración es 48539106 o sea que entre su numeración y su valor tiene 9 dígitos y todos distintos, solo falta el siete.
Claro que debido a la numeración utilizada en argentina (8 números) con un billete de dos no podemos tener un billete pandigital.
En cambio si lo podríamos lograr con uno de 10, 20 o 50.
No sé como es en otros países, pero seguramente debe haber algún billete pandigital por ahí, ya sea solo con la numeración o incluyendo su denominación.
Será cuestión de seguir buscando.
PD: y como el que busca encuentra....
Como verán es un billete de dos pesos cuya numeración es 48539106 o sea que entre su numeración y su valor tiene 9 dígitos y todos distintos, solo falta el siete.
Claro que debido a la numeración utilizada en argentina (8 números) con un billete de dos no podemos tener un billete pandigital.
En cambio si lo podríamos lograr con uno de 10, 20 o 50.
No sé como es en otros países, pero seguramente debe haber algún billete pandigital por ahí, ya sea solo con la numeración o incluyendo su denominación.
Será cuestión de seguir buscando.
PD: y como el que busca encuentra....
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miércoles, 14 de mayo de 2014
1311 - Menor a "Treinta y uno"
lunes, 12 de mayo de 2014
1310 - Mas o menos
viernes, 9 de mayo de 2014
1309 - Sumando sextas potencias
Es posible encontrar la suma de dos sextas potencias que sean iguales a 1a suma de n sextas potencias:
Para n= 10
126+126 = 116+116+116+96+76+46+46+16+16+16
Suma de las dos bases : 24
Para n= 9
216+66 = 196+176+136+136+136+76+56+56+16
Suma de las dos bases 27
Para n=8
376+356 = 366+336+306+246+156+126+106+86
Suma de las dos bases 72
Encontrar igualdades para n > 8 y n> 10 cuya suma de las dos bases de la izquierda sea la menor posible.
¿Son estos ejemplos los de menor suma de bases?
Para n= 10
126+126 = 116+116+116+96+76+46+46+16+16+16
Suma de las dos bases : 24
Para n= 9
216+66 = 196+176+136+136+136+76+56+56+16
Suma de las dos bases 27
Para n=8
376+356 = 366+336+306+246+156+126+106+86
Suma de las dos bases 72
Encontrar igualdades para n > 8 y n> 10 cuya suma de las dos bases de la izquierda sea la menor posible.
¿Son estos ejemplos los de menor suma de bases?
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miércoles, 7 de mayo de 2014
1308 - Con los números del 1 al 16
Los números del 1 al 16 pueden ser divididos en 4 grupos con 4 números cada uno de forma tal que la suma de los números de cada grupo sea igual a 34.
Unos ejemplos de estas divisiones son los siguientes :
a) 1,2,15,16 - 3,4,13,14 - 5,6,11,12 - 7,8,9,10
b) 1,2,15,16 - 3,5,12,14 - 4,9,10,11 - 6,7,8,13
c) 1,4,13,16 - 2,3,14,15 - 6,8,9,11 - 5,7,10,12
¿Cuántas divisiones como estas son posibles?
Cuando empecé a buscar las soluciones pensé que había algunas pocas, pero me equivoqué, hay muchas mas de las que pensaba...
Unos ejemplos de estas divisiones son los siguientes :
a) 1,2,15,16 - 3,4,13,14 - 5,6,11,12 - 7,8,9,10
b) 1,2,15,16 - 3,5,12,14 - 4,9,10,11 - 6,7,8,13
c) 1,4,13,16 - 2,3,14,15 - 6,8,9,11 - 5,7,10,12
¿Cuántas divisiones como estas son posibles?
Cuando empecé a buscar las soluciones pensé que había algunas pocas, pero me equivoqué, hay muchas mas de las que pensaba...
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lunes, 5 de mayo de 2014
1307 - Cuántos?
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