jueves, 27 de febrero de 2014

1285 - Mejorando las probabilidades


Cuatro estudiantes, Andrés, Bárbara, Clara y Daniel serán premiados si todos tienen éxito en la siguiente tarea:

Uno por uno serán introducidos en una habitación donde hay cuatro cortinas, numeradas del uno a cuatro. Se han escrito las letras A, B, C, D en cuatro tarjetas -- cada letra en una y sólo una tarjeta -- y las tarjetas han sido puestas al azar detrás de las cortinas, una detrás de cada cortina. Cada estudiante
podrá mirar detrás de dos cortinas de su elección. El estudiante tendrá éxito si encuentra una tarjeta con su inicial detrás de una de las dos cortinas. Si todos los estudiantes tienen éxito, el grupo gana. Si uno o más fallan, el grupo pierde.

Se permite a los estudiantes desarrollar una estrategia en común antes de comenzar la tarea, pero una vez que cada estudiante ha estado en la habitación, no se le permitirá comunicarse con el resto, ni con palabras ni con señales. Los estudiantes que no han estado todavía en la habitación tampoco podrán saber si los anteriores tuvieron éxito o no.

Si cada estudiante mira detrás de dos cortinas elegidas al azar, tendrá una chance del 50% de ganar, y el grupo tendrá una chance de ganar del 6.25%.

El desafío es desarrollar una estrategia (y justificarla) que de al grupo una probabilidad de ganar de 40% o más.

Un problema de la Universidad de Regina
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martes, 25 de febrero de 2014

1284 - Los cubos de Erik Aberg


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lunes, 24 de febrero de 2014

1283 - Primos, primos, primos

Existen algunos primos con una propiedad particular.
Tomemos por ejemplo el 43, si sumamos sus dígitos obtenemos 4+3 = 7 otro primo, lo mismo sucede cuando multiplicamos sus dígitos y le sumamos uno o le restamos uno : 4x3+1 = 13 y 4x3-1 =11.
Lo curioso es que 7,11 y 13 son tres primos consecutivos
Buscando un poco estos primos se encuentran varios, obviamente muchos son permutaciones uno del otro como por ejemplo 1129 y 1291 que forman un grupo de dos permutaciones.
La idea es encontrar el primo y sus permutaciones (primos también) que cumplan con estos requisitos.

Yo encontré un grupo de 5 y otro de 8 permutaciones.
Los tres primos que se forman deben ser consecutivos, pudiendo ser los de la suma mayor o menor a los del producto
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viernes, 21 de febrero de 2014

1282 - Los coleccionistas de puzzles

En la convención de aficionados a los puzzles matemáticos se juntaron entre 10 y 35 personas, cada uno de ellos llevó la misma cantidad de problemas, salvo uno que trajo uno mas que los demás.

Si entre todos tenían 1000 puzzles en total, ¿Cuántos llevó cada uno?

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miércoles, 19 de febrero de 2014

1281 - Los caballeros de la mesa redonda

El otro día me pasaron este lindo problema:

Diez hombres están sentadas alrededor de una mesa redonda. 
Cada uno de ellos piensa un número entero, y se lo dice al oído a las dos personas que están sentadas a su lado (al de su derecha y al de su izquierda). 
Una vez que cada hombre dice sus números a sus vecinos, cada persona dice, en voz alta, la semisuma de los números que ha oído. 

Curiosamente los números que se escuchan son los números del 1 al 10 y en orden consecutivo.

¿Que número pensó el caballero que dijo  en voz alta el 1?
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martes, 18 de febrero de 2014

1280 - El 273

El número 273 en base 10 presenta la particularidad de que en otras bases puede expresarse como tres números iguales :

273 = 11116
273 = 3339

¿Qué  otros números pueden expresarse como tres números iguales en por lo menos otras dos bases? 
(ojo que puse números y no dígitos, así que las posibilidades son mayores)
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lunes, 17 de febrero de 2014

1279 - 2014 con un solo dígito

Es posible expresar 2014 usando un solo dígito y los signos de la suma, resta, multiplicación, división y paréntesis.
Por ejemplo usando 29 caracteres tenemos :

(9-9/9)x(9+9x(9+9+9))-(9+9)/9 
ó
5x(5+5x(5+5x(5+5+5)))-5-5-5/5
ó
(3x3x3-3)x(3+3x3x3x3)-(3+3)/3

Encontrar expresiones que dan 2014, usan un solo dígito y tengan menos de 29 carácteres (hay varias)


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viernes, 14 de febrero de 2014

1278 - Cuadrados complementarios

Podemos llamara a un número complementario a n de otro cuando las cifras que están en la misma posición   suman n.
Así por ejemplo
2 y 7 son complementarios a 9
12 y 65 son complementarios a 7.
1245 y 8754 son complementarios a 9
3552 y 3114 son complementarios a 6.

La idea es encontrar cuadrados que sean complementarios a un determinado valor de n.
Yo encontré dos ejemplos, uno es
152  = 225
y
212 =  441
Que son complementarios a 6

La idea es encontrar mas ejemplos de cuadrados complementarios
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miércoles, 12 de febrero de 2014

1277 - Extendiendo los primos

El número primo 53 es el menor primo al que no no es posible concatenarle ningún dígito por detrás para obtener otro primo ya que 531, 533, 537 y 539 son números compuestos.
Así podemos decir que 53 forma una serie de un primo.

Ejemplos de primos que forman series de n primos:
1: 53
2: 5, 53
3: 3, 31, 317
4: 3, 37, 379, 3793
5: 2, 23, 233, 2339, 23399

La serie mas larga que encontré tiene 8 primos:  2, 29, 293, 2939, 29399, 293999, 2939999, 29399999

La idea está planteada, encontrar los menores primos  que forman series de n términos, y encontrar la serie mas larga posible



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lunes, 10 de febrero de 2014

1276 - Suma de cubos de números consecutivos

1. Analía dice tres números consecutivos, Bernardo los eleva al cubo, Carmen los suma y Daniel se da cuenta que el resultado es un cuadrado

2. Analía le suma un mismo número a cada uno de los números que había dicho, Bernardo los eleva al cubo, Carmen los suma y Daniel vuelve a decir que el resultado es un cuadrado

3. Analía le suma un mismo número a los números que ella había dicho en segundo lugar, Bernardo los eleva al cubo, Carmen los suma y Daniel vuelve a decir que el resultado es un cuadrado


¿Qué número debe sumarle Edgardo a los números dichos por Analia en el punto 3. para que luego de que Bernardo y Carmen hagan lo suyo, Daniel se de cuenta que el resultado es un cuadrado?

¿Existen otros números consecutivos cuya suma de cubos sea un cuadrado?
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