1246 - En el Restaurant

Roxana y Susana fueron a un restaurant en donde todos los platos valen lo mismo
Roxana pidió cinco platos y Susana solo tres. 
Justo después de pagar y antes de empezar a comer se encontraron con Patricia.
Decidieron entonces compartir los platos entre las tres.
Al terminar la comida Patricia les dio $4
¿Como deben repartirse esos cuatro pesos entre Roxana y Susana?

Del libro 100 Numerical Games de Pierre Berloquin .

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1246 - En el Restaurant

1245 - Sumando divisores primos

• Para este problema hay tomar todos los números enteros que existen, que son muchos :).
• Luego hay que sumar para cada uno de ellos sus divisores primos.
• Ahora hay que hacer una tabla en la que colocamos los resultados y la cantidad de números que dan dicho resultado

Por ejemplo la tabla empezaría así :

1 - 0
2 - 1
3 - 1
4 - 1
5 - 2
6 - 2
7 - 3
8 - 3
etcétera
Los tres números que dan 7 son : 7(7), 10(2,5) y 12(2,2,3)
Los tres números que dan 8 son : 15(3,5), 16 (2,2,2,2) y 18 (2,3,3)

Por último hay que encontrar el único número que la cantidad de números que dan su valor es él mismo.
Es decir en la tabla aparecería X - X

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1245 - Sumando divisores primos

1244 - Paradojas del infinito

El infinito crea algunas paradojas, la siguiente es un ejemplo.


- ¿Cuál es el promedio de todos los números enteros?
- El cero, por supuesto!
- ¿Porque cero?
- Simple, empecemos por el uno, tenemos como contrapartida el -1, 1-1 = 0, promedio cero.
Para el 2, tomamos el -2, 2-2 = 0, promedio cero, y así sucesivamente, para cada n positivo existe n negativo y el promedio da siempre cero

- Para mi da uno, empiezo por el dos, para el dos tomo el cero, 2+0 = 2 promedio uno
Para el tres tomo el -1, 3-1 = 2 promedio uno y así sucesivamente, para cada n tomo n-2 y n - (n-2) da siempre dos, por lo tanto el promedio me da siempre uno.

- Para mi da dos, empiezo por el tres,  tomo entonces el uno, 3+1 = 4 promedio dos
Para el cuatro tomo el cero, 4-0 = 4, promedio dos y así sucesivamente, para cada n tomo n-4 y n - (n-4) da siempre cuatro, por lo tanto el promedio me da siempre dos.

Para mi da tres....

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1244 - Paradojas del infinito

1243 - Jugando con los números...

1. Tomamos un número cualquiera.
2. Buscamos sus divisores, los escribimos (con repetición) de menor a mayor. 
3. Obtenemos así otro número con el cual repetimos el proceso.
4. Seguimos hasta obtener un primo

Ejemplo :

2013 = 3 x 11 x 61

31161 = 3 x 13 x 17 x 47

3131747 el cual es primo

Es decir que 2013 se extingue en  tres pasos 

2013, 31161, 3131747

Claro que hay números que generan mas números.

Sin  buscar mucho el 8 pasa por

8, 222, 2237, 31941, 33371313, 311123771, 7149317941.... hasta terminar en el primo 3331113965338635107

Algunas preguntas: 

- ¿Cuáles son los menores números que se extinguen en n pasos?

Para n=1, 2

Para n=2, 6  

Para n=3, 4

- ¿Terminaran todos los números en un primo?

- ¿Habrá algún número que termine en un número menor a él? (pasando por mas de un paso)

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1243 - Jugando con los números...

1242 - ¿Cuántos?

Usando los dígitos del 0 al 9 usted hará códigos de 10 dígitos de largo.
Cada 4 dígitos adyacentes presentes en un código, no puede ser usado en algún otro.

Por ejemplo si forma el 0792435861, entonces ningún otro número podrá tener estas cadenas dentro: 0792, 7924, 9243, 2435, 4358, 3586 o 5861.

¿Cual es la máxima cantidad de códigos que se pueden formar usando esta regla?

Este es otro problema de Puzzle up

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1242 - ¿Cuántos?

1241 - Otros como el 503609521

El primo 503609521 presenta una particularidad cuando es elevado al cuadrado   503609521² = 253622549641849441

Este cuadrado es la concatenación de seis siete números cuadrados 
25 36 225 49 64 1849 441 (c7)
El desafío consiste en encontrar (si los hubiere) otros cuadrados que sean la concatenación de mas de seis siete cuadrados distintos y con mas de una cifra cada uno


PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.

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1241 - Otros como el 503609521

1240 - Números parejos

Podemos llamar número parejo a aquel en que sus dígitos pueden ser divididos en dos grupos que tengan la misma suma.

Ejemplos :
 12371 ya que 1+2+3+1 = 7 
  6545 ya que 6+4=5+5
     22  ya que 2=2

¿Cuál es el primer par de números consecutivos parejos? 
¿ y los siguientes? 
¿Habrá tres o mas números consecutivos parejos?

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1240 - Números parejos

1239 - Otros como el 142857

Es muy conocida la propiedad del número 142857.
Este número genera permutaciones de si mismo al multiplicarlo por los números del 1 al 6

142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285 
142857 x 6 = 857142

y además

142857 x 7 = 999999

Menos conocidos pero igualmente bellos son estos resultados:

076923 x    1 =  076923  
076923 x    2 =                  153846
076923 x    3 =  230769
076923 x    4 =  307692
076923 x    5 =                  384615
076923 x    6 =                  461538
076923 x    7 =                  538461   
076923 x    8 =                  615384 
076923 x    9 =  692307
076923 x  10 =  769230
076923 x  11 =                  846153
076923 x  12 =  923076
y
076923 x 13 =  999999

Por lo tanto :

153846 x 1     =  153846 
153846 x 2.5  =  384615
153846 x 3     =  461538
153846 x 3.5  =  538461
153846 x 4     =  615384
153846 x 5.5  =  846153

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1239 - Otros como el 142857

1238 - Ayudando a Robinson

Robinson estaba aburrido.
Decidió entonces escribir todas las permutaciones de 1234567 de menor a mayor.
Como seguía aburrido eliminó los múltiplos de 5
Sigue  aburrido todavía.
Decide entonces ahora, buscar cual es el número que está en la posición 2000.

¿Quién lo puede ayudar a Robinson?

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1238 - Ayudando a Robinson

1237 - Uno, dos, tres

Julia que sabe mucha matemáticas, piensa en número que puede ser uno, dos o tres.
Augusto debe averiguar que número está pensando Julia haciendole solo una pregunta
A la que Julia solo puede contestar : Si, No o No sé

¿Qué debe preguntar Augusto?

Este acertijo apareció en un foro sobre matemáticas y hay varias respuestas válidas (todas ellas muy interesantes)

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1237 - Uno, dos, tres

1236 - Gardner

Como ya es costumbre en los últimos años, alrededor del 21 de octubre, fecha de nacimiento de Martin Gardner, se celebra en varias ciudades del planeta reuniones para celebrar el ingenio.
En Buenos Aires se celebra el próximo sábado 19 de octubre, siendo este el cuarto encuentro que se realiza y con récord de expositores.
Organizado por Rodolfo Kurchan, aquí se homenajea también a Jaime Poniachik, el gran creador de juegos de ingenio argentino, fallecido hace unos poco años

La cita es el auditorio Cendas, Bulnes 1350 de la Capital Federal,  a partir de las 14 Hs.

El programa es el siguiente:

Se puede ver mas informaciones del evento en Buenos Aires en la página de Facebook

En tanto que par los que viven en otros lugares pueden ver en celebration of mind todos los lugares en los cuales se va a hacer un encuentro.  

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1236 - Gardner

1235 - Completando la secuencia

La maestra escribió una secuencia en progresión aritmética en el pizarrón.
Joselito la copió en su cuaderno y escribió : 

113; 137; 149; 155; 173

Claro que se olvidó de escribir un número y además uno de los que copió estaba mal.

¿Quien puede ayudar a Joselito?

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1235 - Completando la secuencia

1234 - Múltiplos curiosos de 41

• Encontrar un múltiplo (M2) de 41 tal que M2/41 = a la suma de los cuadrados de los dígitos de M2
• Encontrar un múltiplo (M3) de 41 tal que M3/41 = a la suma de los cubos de los dígitos de M3
• Encontrar un múltiplo (M4) de 41 tal que M4/41 = a la suma de los cuarta potencia de los dígitos de M4

Por ejemplo para 37, M2 = M3 = M4 = 111 ya que 111/ 37 = 3
y para 35,  M2 = 2660, M3 = 30870 y M4 = 235865

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1234 - Múltiplos curiosos de 41

1233 - Un problema de las olimpiadas del año 2000

En cada una de las 12 fotos que tiene Viviana hay tres mujeres, la mujer del medio es siempre la madre de la mujer que está a su izquierda y hermana de la que está a su derecha.
La mujer del medio en cada una de las fotos es siempre una mujer distinta.

¿Cuál es el menor número de mujeres que pueden estar presentes en estas doce fotos?

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1233 - Un problema de las olimpiadas del año 2000

1232 - Cuántos dígitos?

 - Encontré el menor número compuesto solo por unos y ceros que es múltiplo de 2475 !
- Iuju! y eso para que te sirve?
- Es un ejercicio matemático-espiritual, para cuando estoy deprimido
- ahh, y no tendrás que ir al psicólogo?
- No creo, a vos te vendría bien buscar ese número y decirme cuantos dígitos tiene.
- Ok, enseguida te digo

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1232 - Cuántos dígitos?

1231 - Un poco de poesía

El puzzle

Frente a frente y el puzzle en medio. Sé
que pude acertar solo el acertijo
pero es más llevadero buscar juntos
las piezas que completen el diseño.
Nunca damos con todas: huecos hay
porque ignoramos los cartones-guía,
porque no damos con la pieza-clave,
la pieza-madre que clausure el juego.

Tú sabes que encontramos piezas falsas,
quizá piezas que fueran de un tablero
distinto, de otra caja. Parecían
nuestras, mas su perfil no era el exacto.
Apartarlas costó: nunca se juega
sin arrancar un poco de esperanza,
nunca se manipulan los proyectos
sin arañar la piel de la alegría.

Volvamos juntos al rompecabezas.
No tengas miedo de elegir en vano,
siempre vale la pena pretender
dar un poco de amor al jeroglífico.
Poco a poco el enigma se resuelve
aunque se quede un cabo por atar.
Hacer un puzzle es conseguir que todo
concuerde con los límites del sueño.

Porque soñar, jugar, vivir, son sólo
formas de despejar la misma incógnita,
fórmulas variadas de escoger
las piezas y limar sus bordes ásperos.
Tantos años y no hemos hecho nada
más que intentar un poco de armonía
entre las ciegas fichas que nos dieron
por si solucionamos lo insoluble.


Este poema es de Leopoldo de Luis y me lo envió Carlos Rivera

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1231 - Un poco de poesía

1230 - N cuadrados consecutivos

Encontrar N números enteros consecutivos tal que el promedio de sus cuadrados sea exactamente N².


Desafío adicional:  encontrar tres casos en que N sea primo

He corregido el enunciado donde decía sea exactamente N debía decir lo que dice ahora, pido disculpas

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1230 - N cuadrados consecutivos

1229 - Tres primos que...

Encontrar tres números primos tal que la suma de sus cuadrados sea divisible por su producto.

Hay muchos ejemplos.

Ejemplo (en el que no todos son primos) : 
1, 13 , 34  : (1²+13²+64²) / (1x13x34)  = 1326 / 442 = 3

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1229 - Tres primos que...