1148 - Un problema para explicárselo a un niño

En el tablero, las casillas marcadas están pintadas de negro.
Se quiere pintar todas las otras casillas de azul, rojo, verde o negro, cada una de un color, de modo que en cada fila y en cada columna haya una casilla de cada color.
¿De cuantas maneras se puede hacer?

No solo hay que resolverlo, sino que explicarlo como para que lo entienda un niño de 10 años, ya que es un problema de las olimpiadas matematicas argentinas para niños y una amiga mia no sabe como explicarselo para que lo entienda

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1148 - Un problema para explicárselo a un niño

1147 - Divisible por una parte de si mismo

21079 es un número de cinco dígitos, todos diferentes, que es múltiplo de sus tres cifras centrales (tomados como un solo número, el cual a su vez es primo) : 

21079 / 107 = 197.

Encontrar dos números como el 21079, en que el número primo de tres cifras que está dentro, sea el mismo.

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1147 - Divisible por una parte de si mismo

1146 - Sumas curiosas de números consecutivos

Existen muchos ejemplos de sumas de numeros consecutivos desde n1 hasta n2 en el que el resultado es la concatenación de n1 y n2 :

4+5+6+7+...................+26+27+28+29 = 429
18+19+20+.....................+61+62+63 = 1863
178+179+180+......621+622+623 = 178623
3273+3274+........+8727+8278 = 32738278
3653+6354+........+9162+9163 = 36539163

También existen números que son la concatenación del primer y último término de una suma de números consecutivos pero en orden inverso:

20+19+18+...................+6+5+4 = 204
21+20+19+...................+8+7+6 = 216
212+211+.................+53+52 = 21252
2006+2005+....+119+118 = 2006118


¿Cuáles son los ejemplos mas grande que pueden encontrar para ambas formas?

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1146 - Sumas curiosas de números consecutivos

1145 - Una curiosidad del 8614

Entre 8614 y sus factores primos aparece cada dígito del uno al nueve una sola vez cada uno.

8614 = 2 x 59 x 73

¿Habrá algun número en el que aparezcan todos los dígitos (con o sin cero) exactamente dos o mas veces al considerarlo junto a sus factores primos?

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1145 - Una curiosidad del 8614

1144 - ¿Quién recorrió mas?

Li y Ali son dos caminantes que parten de un mismo lugar hacia el norte.
Caminan tres días pero no al mismo paso.
El primer día, Ali recorre 9/11 de lo que recorre Li, el segundo día recorre 11/9 y el tercer día 33/31.
Hay que tener en cuenta que a medida que pasan los días, los hombres se fatigan, de manera tal, que la SUMA de los trayectos que cubren el tercer día es un 20% inferior a la del segundo día y ésta un 20% inferior a la del primer día.
En tales condiciones, ¿quién fue mas lejos Li o Ali?


Un problema de Jean Pierre Alem del libro Nuevos juegos de ingenio y entretenimiento matemático

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1144 - ¿Quién recorrió mas?

1143 - Mas sombreros en la frente

Aquí va otro interesante problema del tipo "sombreros con números":

De un grupo de nueve cartas numeradas del uno al nueve se toman cuatro. Se coloca cada una de dichas cartas en la frente de cada uno de cuatro lógicos de forma tal que cada uno puede ver las cartas que tienen sus colegas pero no la propia.

Por turnos deben hablar pudiendo elegir entre dos opciones :
a) Decir Si o No, si saben o no la carta que tienen en su propia frente
ó
b) Decir la suma de dos o de los tres números que ven

En una de las rondas se escuchó:

- Alberto :    14
- Bernardo : Si
- Carlos : 7
- Daniel : No
- Alberto : Si

Deducir el número de Daniel

Es un puzzle del Sunday Times escrito por John Owen

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1143 - Mas sombreros en la frente

1142 - Formar diecinueve

Utilizando un solo 1, un solo 2 y un solo 3 formar una expresión que sea igual a 19.

No es válido concatenar, se puede usar suma, resta, multiplicación, división, factoriales, raíz cuadrada y  la cantidad de paréntesis que sea necesarios.

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1142 - Formar diecinueve

1141 - La constante e en el triángulo de Pascal

La semana pasada encontré en Cut the Knot,  este artículo que relaciona a e con el triángulo de Pascal, como es un descubrimiento relativamente reciente les traduzco lo que leí:

Harlan J. Brothers ha descubierto recientemente la constante fundamental "e" oculta en el triángulo de Pascal,  para ello en lugar de las sumas de los elementos de cada fila, toma sus productos, así en las primeras filas:

Demostración:

Los términos de la nª fila del triángulo de Pascal son los coeficientes binomiales

 , de modo que el producto de los términos de la fila n, S_n es :

Entonces el producto de una fila dividido por el producto de la fila inmediatamente inferior es

por lo tanto

La cual es una expresión bien conocida cuyo límite es e

Referencias:

H. J. Brothers, Pascal's triangle: The hidden stor-e, The Mathematical Gazette, March 2012, 145
H. J. Brothers, Finding e in Pascal's triangle, Mathematics Magazine, 85, No. 1 (2012), 51

Este artículo es una traducción del escrito en cut the knot 

Esta entrada participa del carnaval de matemáticas edición 4.12312 que en esta ocasión organiza el blog Matemáticas interactivas

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1141 - La constante e en el triángulo de Pascal

1140 - ¿Cada cuanto tiempo en promedio muere la persona mas vieja viva?

Supongamos que hoy muere la persona mas vieja que vive en el planeta, inmediatamente la segunda persona mas vieja pasa a ser la mas vieja viva, la pregunta entonces es ¿cuánto tiempo pasará en promedio hasta que dicha persona muera?

Esta pregunta fue hecha en el foro de matemáticas StackExchange por un tal Gugg.
La respuesta es realmente sorprendente, según los que ahí contestaron con fundamentos matemáticos, es de ...... 0.65 años, o sea aproximadamente 8 meses.

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1140 - ¿Cada cuanto tiempo en promedio muere la persona mas vieja viva?

1139 - Mirando el horizonte

Sergio y su hijo estaban en la playa recostados mirando el mar con la pera apoyada en la arena.
- Papá, ¿que tan lejos podemos ver?
- Eso depende hijo, así como estamos ahora no podemos ver muy lejos
- ¿y como podemos ver mas lejos?, porque me gustaría ver ese barquito se que se va alejando de nosotros
- y si nos paramos podemos ver bastante mas lejos
- Me gustaría que pudiéramos ver al barco cuando esté a 10 kilómetros de la costa, porque el capitán me dijo que cuando este a esa distancia iba a tirar unas bengalas.
- Para verlo a esa distancia vamos a tener que tener que subirnos a algún lugar


¿A que altura deberán tener los ojos Sergio y su hijo para poder ver el barquito a 10 Km de distancia? ¿y si fueran 20 km?

Suponemos que el radio de la tierra es de 6371 Km

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1139 - Mirando el horizonte

1138 - Cuadrados sumados

Encontrar dos números cuadrados de 8 cifras cada uno, cuya suma es uno de  dichos cuadrados escritos en forma invertida

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1138 - Cuadrados sumados

1137 - Setenta y uno

Encontrar una expresión matemática que utilice el 7 y el 1 para formar 71, no es válido concatenar :)
Se puede usar suma, resta, división, multiplicación, factorial, potencias y raíz cuadrada

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1137 - Setenta y uno

1136 - Increíbles igualdades

El otro día vi estas igualdades:

5882352941176470588² + 23529411764705882353² = 

588235294117647058823529411764705882353

42791475135812787296280819055578771416631842882 + 49477643125783535311324697033012954450480568332 = 42791475135812787296280819055578771416631842884947764312578353531132469703301295445048056833

87671232876712328767123287671232876712328767122 + 32876712328767123287671232876712328767123287682 = 87671232876712328767123287671232876712328767123287671232876712328767123287671232876712328768

12328767123287671232876712328767123287671232882 + 32876712328767123287671232876712328767123287682 = 12328767123287671232876712328767123287671232883287671232876712328767123287671232876712328768

223936040083154193549112969948423005460722429083598731176136621599663299918841003563705614408202  + 416879706911994160594736642180110910764279586121150395419786322913352811493259330977730120324002  = 2239360400831541935491129699484230054607224290835987311761366215996632999188410035637056144082041687970691199416059473664218011091076427958612115039541978632291335281149325933097773012032400

Al verlas me acordé del número de carnet del club que tuve en mi infancia.
Era un número de 8 cifras que era igual a la suma de sus primeros cuatro dígitos elevados  al cuadrado mas el cuadrado de sus últimos cuatro dígitos.

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1136 - Increíbles igualdades

1135 - Dividiendo pandigitales

Hay muchos números pandigitales sin cero (o sea que tienen todos los dígitos del 1 al 9 una  sola vez cada uno) que pueden ser divididos en cuatro números de dos formas diferentes tal que el producto de los términos de cada una de las divisiones de el mismo producto:

Ejemplos

123596847 : 12x35x968x47 =  1x235x96x847 = 19108320 

297541368 :  29754x13x6x8 = 2x9x754x1368 = 18566496

584136297 :  5841x36x29x7 = 58x413x6x297 = 42686028

638742915 :  638x742x9x15 = 63x87x4x2915 = 63908460

Pero de todos los que encontré, solo uno da un producto con todos los dígitos diferentes, serías capaz de encontrarlo?

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1135 - Dividiendo pandigitales

1134 - Otra forma de escribir los factoriales

El factorial de N, N!, es igual al producto de todos los números que van del 1 a N, es decir que es igual al producto de N números de los cuales el mas pequeño es siempre el uno.

Pero cuando N es lo suficientemente grande es posible expresar N! igualmente como el producto de N (no todos distintos) factores tal que el que el factor mas pequeño (F1) no sea uno.
Así por ejemplo:

27 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x.....x 25 x 26 x 27  
F1 =1

27 ! = 7³ x 8³ x 9⁴ x 10⁴ x 11² x 12⁵ x 13² x 17 x 19 x 23 x 25 
F1 = 7

y

27! =  8⁴ x 9⁶ x 10⁶ x 11² x 12 x 13² x 14³ x 17 x 19 x 23 
F1 = 8

En esta caso 8 es el menor valor que encontré para expresar factorial de 27 como el producto de 27 factores, o sea F1 = 8

Encontrar la forma de expresar los siguientes factoriales con el menor F1 para los factoriales de
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100 



Un problema de Michel Lafond

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1134 - Otra forma de escribir los factoriales

1133 - Jugando con los primos

- Tengo un juego
- Contame
- Se empieza siempre por el primo mas pequeño, el 2, y por turnos le agregamos o sacamos, por delante o por detrás, una cifra para formar un nuevo número el cual siempre tendrá que ser un número primo.
- Dame un ejemplo
- Empezamos con el 2, en este caso solo le podemos agregar por detrás, por ejemplo 23 y seguimos por turnos así : 2 , 23, 3, 53, 5, 59, 5, 53, 3 , etc
- ¿Quiere decir que podemos repetir números ?
- Si, si, claro
- Interesante, ¿pero podremos formar todos los primos?
- Las veces que lo jugué logré formar todos los primos menores a cien salvo uno que  no se puede formar nunca.
-¿Cuál?

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1133 - Jugando con los primos

1132 - El mas grande con todos los dígitos diferentes

- Decime un número en cuya composición participen solo dos dígitos diferentes.
- el 355,  puede ser?
- Ahora yo voy a decir otro con las mismas características dejame pensar,   hmmmmmmmmm, ya está, 1121
- y ?
- Me olvidé de explicarte, suma los dos números
- 355 +1121 = 1476 ¿y la magia?
- Fijate que la suma no tiene dígitos repetidos
- Entiendo, pero hay muchisimos ejemplos.
- Si pero hay uno solo que es el mayor
- O sea ¿que buscas el mayor número con todos los dígitos diferentes que sea el resultado de la suma de dos sumandos cada uno de los cuales esta formado por solo dos dígitos diferentes?
-Si vos lo queres decir así, si

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1132 - El mas grande con todos los dígitos diferentes

1131 - La plata de un corrupto

- El otro día denunciaron a un funcionario por corrupto
- ¿Y cuál es la noticia?
- La plata que se robó
- ¿Era mucha?
- Para que te des una idea te digo que si al monto que se robó le anteponemos un uno y le ponemos un uno por detrás, obtenemos el número original multiplicado por 99
- Uh, creo que era mucho entonces

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1131 - La plata de un corrupto

1130 - Los números del 1 al 100

Nueve de los diez primeros números se pueden acomodar de la siguiente manera:

 8 - 4 - 2 - 6 - 3 - 9 - 1 - 5 - 10

De forma tal que cada número o es múltiplo o es divisor de sus vecinos. Yo no encontré forma de acomodar los diez primeros números.

La idea es lograr con esta regla formar la cadena mas larga posible con los números del 1 al 100 inclusive.
Yo tengo una solución de mas de 70  y menos de 80 números, pero seguramente ustedes mis queridos lectores podrán superarla.

¿Existe una regla que nos permita calcular cuál es el número máximo de términos que se pueden colocar cuando los números van del 1 a N?

Por ejemplo para 
N= 2,  1-2
N =3,  3-1-2
N =4,  3-1-2-4
N =5,  el cinco no se puede agregar, o si se agrega hay que sacar el tres
N =6,  5-1-3-6-2-4
etcétera.


Este problema había aparecido hace unos cuantos años en el excelente blog 3decas de merfat (lamentablemente ya no se actualiza), donde está mi solución  

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1130 - Los números del 1 al 100