Existe una estrategia que permite salvarse en el 90% de los casos
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jueves, 28 de febrero de 2013
1091 - Otro de sombreros II
Este problema es exactamente igual al anterior "otro problema de sombreros" pero con la diferencia de que los presos no saben si el anterior habló o no.
Existe una estrategia que permite salvarse en el 90% de los casos
Hacer click aquí para ver la solución
Existe una estrategia que permite salvarse en el 90% de los casos
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miércoles, 27 de febrero de 2013
1090 - Otro problemas de sombreros
El director de la cárcel les dice a los presos que les pondrá a cada uno un sombrero blanco o uno negro
Cada preso podrá ver los sombreros de los otros presos pero no el suyo.
El color de cada sombrero va a ser elegido al azar (por ejemplo tirando una moneda).
A cada preso se le da la opción de adivinar que color de sombrero tiene puesto, pero si quiere puede optar por pasar.
Obviamente la comunicación entre ellos, una vez colocados los sombreros, está prohibida, pero pueden establecer una estrategia antes de que les coloquen los sombreros
Al menos uno de los presos debe arriesgar un color (No pueden pasar todos).
Si arriesga más de un preso, deben acertar todos para poder salvarse.
Si uno solo falla, todos serán ejecutados.
Parecería que la opción de salvarse es del 50%, haciendo que uno arriesgue y los demás pasen, pero con una buena estrategia este porcentaje puede aumentase notablemente.
Si hay 15 presos ese porcentaje puede elevarse hasta alrededor del 90%.
¿Cuál sería la estrategia a seguir?
¿y que probabilidad tendrían de salvarse?
Para acercarse a la solución se da como pista que se trate de solucionar primero el caso de tres presos en las mismas condiciones.
Del libro Mathematical puzzles de Peter Winkler
Cada preso podrá ver los sombreros de los otros presos pero no el suyo.
El color de cada sombrero va a ser elegido al azar (por ejemplo tirando una moneda).
A cada preso se le da la opción de adivinar que color de sombrero tiene puesto, pero si quiere puede optar por pasar.
Obviamente la comunicación entre ellos, una vez colocados los sombreros, está prohibida, pero pueden establecer una estrategia antes de que les coloquen los sombreros
Al menos uno de los presos debe arriesgar un color (No pueden pasar todos).
Si arriesga más de un preso, deben acertar todos para poder salvarse.
Si uno solo falla, todos serán ejecutados.
Parecería que la opción de salvarse es del 50%, haciendo que uno arriesgue y los demás pasen, pero con una buena estrategia este porcentaje puede aumentase notablemente.
Si hay 15 presos ese porcentaje puede elevarse hasta alrededor del 90%.
¿Cuál sería la estrategia a seguir?
¿y que probabilidad tendrían de salvarse?
Para acercarse a la solución se da como pista que se trate de solucionar primero el caso de tres presos en las mismas condiciones.
Del libro Mathematical puzzles de Peter Winkler
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martes, 26 de febrero de 2013
1089 - Truco de magia
Un mago le pide a un espectador que elija un número de tres cifras ABC, las cuales no deben ser necesariamente diferentes.
Luego le pide que haga la siguiente suma :
ACB + BAC + BCA + CAB + CBA y que le diga el resultado (el número original no se suma)
¿Sabiendo el resultado, es posible deducir siempre el número ABC original?
Si la repuesta es si, ¿Que debe hacer el mago para averiguar el número original ABC?
¿Que número da 2013 como suma?
Luego le pide que haga la siguiente suma :
ACB + BAC + BCA + CAB + CBA y que le diga el resultado (el número original no se suma)
¿Sabiendo el resultado, es posible deducir siempre el número ABC original?
Si la repuesta es si, ¿Que debe hacer el mago para averiguar el número original ABC?
¿Que número da 2013 como suma?
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lunes, 25 de febrero de 2013
1088 - Suma y productos cuadrados
Si al número 5 le sumamos 20 obtenemos 25 que es un cuadrado perfecto, curiosamente si a 5 lo multiplicamos por 20 obtenemos 100 el cual también es un número cuadrado perfecto.
5 + 20 = 25 = 52
5 x 20 = 100 = 102
Así podemos decir que para el cinco el 20 seria un número "cuadratizante"
Obviamente que si multiplicamos al 5 y al 20 por un número cuadrado, obtendremos otro ejemplo de estos números:
Así si los multiplicamos por 9 = 32 :
45 +180 = 225 = 152 = 52 x 32
45 x 180 = 8100 = 902 = 102 x 32 x 32
Estuve buscando mas ejemplos como estos y encontré muchos :
8 + 392 = 400 = 202 y 8 x 392 = 3136 = 562
9 + 16 = 25 = 52 y 9 x 16 = 144 = 122
10 + 90 = 100 = 102 y 10 x 90 = 900 = 302
Para algunos primos no logré encontar su número "cuadratizante", y para otros como el 5 encontré varios.
- ¿Habrá un número cuadratizante para cada primo?
- ¿Cuales son los menores números "cuadratizantes" para el 5 además del 20?
- ¿Hay una forma de encontrarlos?
5 + 20 = 25 = 52
5 x 20 = 100 = 102
Así podemos decir que para el cinco el 20 seria un número "cuadratizante"
Obviamente que si multiplicamos al 5 y al 20 por un número cuadrado, obtendremos otro ejemplo de estos números:
Así si los multiplicamos por 9 = 32 :
45 +180 = 225 = 152 = 52 x 32
45 x 180 = 8100 = 902 = 102 x 32 x 32
Estuve buscando mas ejemplos como estos y encontré muchos :
8 + 392 = 400 = 202 y 8 x 392 = 3136 = 562
9 + 16 = 25 = 52 y 9 x 16 = 144 = 122
10 + 90 = 100 = 102 y 10 x 90 = 900 = 302
Para algunos primos no logré encontar su número "cuadratizante", y para otros como el 5 encontré varios.
- ¿Habrá un número cuadratizante para cada primo?
- ¿Cuales son los menores números "cuadratizantes" para el 5 además del 20?
- ¿Hay una forma de encontrarlos?
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viernes, 22 de febrero de 2013
1087 - Tres productos todos los dígitos
El número 107 presenta la particularidad que al multiplicarlo por 3 ,7 y 8 respectivamente genera tres números de tres cifras que entre los tres tienen los nueve dígitos del uno al nueve sin que se repita ninguno:
107 x 3 = 321
107 x 7 = 749
107 x 8 = 856
Hay varios números de tres cifras con esta característica :
109 x 3, 6 y 9 = 327, 654, 981
123 x 4, 5 y 6 = 492, 615, 738
129 x 1, 3 y 5 = 129, 387, 645
192 x 1, 2 y 3 = 192, 384, 576
219 x 1, 2 y 3 = 219, 438, 657
273 x 1, 2, y 3 = 273, 546, 819
327 x 1, 2 y 3 = 327, 654, 981
El 123 es el único que tiene un dígito suyo en cada producto:
123 x 4 = 492
123 x 5 = 615
123 x 6 = 738
Si consideramos productos que además de los nueve dígitos tengan el cero, tenemos muchos resultados, mas de 100.
Por ejemplo :
102 x 3 = 306
102 x 7 = 714
102 x 29 = 2958
Este es uno de los casos mas curiosos ya que en cada producto aparece solo uno de los dígitos del 102 y además cada uno de los números por los que se multiplica aparecen en sus propios productos.
El 102 también genera con otros multiplicandos productos que tienen cada uno de los diez dígitos una sola vez y además tienen la misma característica que los productos anteriores :
102 x 3 = 306
102 x 9 = 918
102 x 27 = 2754
Otra curiosidad es que la suma de los tres productos es igual en las dos ocasiones 306 + 714 + 2958 = 306 + 918 + 2754 = 3978
Así pues es 102 genera los diez dígitos en los productos de dos formas distintas.
El 103, que es primo, genera una sola solución:
103 x 3 = 309
103 x 4 = 412
103 x 56 = 5768
Preguntas:
- ¿Cuál es el número de tres cifras que genera los 10 dígitos en los productos, de mas formas distintas?
- ¿Cuál es el primo de tres cifras que tiene mas soluciones distintas?
- ¿Cuál es el mayor número de tres cifras con esta característica?
-¿Cuál es la mayor suma de los tres multiplicandos para números de tres cifras?
- Si concatenamos los productos del 102 según el orden de los multiplicandos ordenados de menor a mayor, obtenemos 3067142958 y 3069182754.
¿Que número de tres cifras genera el mayor pandigital concatenado?
y si los productos se pudieran concatenar como uno quisiera?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
107 x 3 = 321
107 x 7 = 749
107 x 8 = 856
Hay varios números de tres cifras con esta característica :
109 x 3, 6 y 9 = 327, 654, 981
123 x 4, 5 y 6 = 492, 615, 738
129 x 1, 3 y 5 = 129, 387, 645
192 x 1, 2 y 3 = 192, 384, 576
219 x 1, 2 y 3 = 219, 438, 657
273 x 1, 2, y 3 = 273, 546, 819
327 x 1, 2 y 3 = 327, 654, 981
El 123 es el único que tiene un dígito suyo en cada producto:
123 x 4 = 492
123 x 5 = 615
123 x 6 = 738
Si consideramos productos que además de los nueve dígitos tengan el cero, tenemos muchos resultados, mas de 100.
Por ejemplo :
102 x 3 = 306
102 x 7 = 714
102 x 29 = 2958
Este es uno de los casos mas curiosos ya que en cada producto aparece solo uno de los dígitos del 102 y además cada uno de los números por los que se multiplica aparecen en sus propios productos.
El 102 también genera con otros multiplicandos productos que tienen cada uno de los diez dígitos una sola vez y además tienen la misma característica que los productos anteriores :
102 x 3 = 306
102 x 9 = 918
102 x 27 = 2754
Otra curiosidad es que la suma de los tres productos es igual en las dos ocasiones 306 + 714 + 2958 = 306 + 918 + 2754 = 3978
Así pues es 102 genera los diez dígitos en los productos de dos formas distintas.
El 103, que es primo, genera una sola solución:
103 x 3 = 309
103 x 4 = 412
103 x 56 = 5768
Preguntas:
- ¿Cuál es el número de tres cifras que genera los 10 dígitos en los productos, de mas formas distintas?
- ¿Cuál es el primo de tres cifras que tiene mas soluciones distintas?
- ¿Cuál es el mayor número de tres cifras con esta característica?
-¿Cuál es la mayor suma de los tres multiplicandos para números de tres cifras?
- Si concatenamos los productos del 102 según el orden de los multiplicandos ordenados de menor a mayor, obtenemos 3067142958 y 3069182754.
¿Que número de tres cifras genera el mayor pandigital concatenado?
y si los productos se pudieran concatenar como uno quisiera?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
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jueves, 21 de febrero de 2013
1086 - Con 2013 y su cuadrado con todos
miércoles, 20 de febrero de 2013
1085 - Reconstruyendo la multiplicación
martes, 19 de febrero de 2013
1084 - Criterios de divisibilidad
Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber si un número
es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Para los primeros números primos existen reglas muy simples que todo el mundo conoce, que aquí las repito:
Un número es divisible por 2 si termina en un número par
Un número es divisible por 3 si la suma de los dígitos de dicho número es múltiplo de 3
Un número es divisible por 5 si termina en cero o cinco
Pero que pasa para números primos mas grandes?
Existe un método que permite generar una regla para cada número primo. En esta entrada les voy a explicar como saber si un número es divisible por un número primo determinado sin tener que hacer la división, porque el método funciona y como obtener los números que permiten hacer estos cálculos.
El método se basa en una acción recursiva sobre el número original, haciéndolo cada vez mas pequeño hasta lograr un número que nos permita saber si es múltiplo o no del primo elegido.
Cada número primo tendrá dos números asociados (uno positivo y otro negativo) que permitirán ir disminuyendo el valor del número original hasta que tome un valor tal del cual podamos decir si es o no múltiplo del primo elegido
Voy a explicarlo usando un ejemplo:
Es 28373 divisible por 17?
Los números asociados al 17 son -5 y 12
Lo que hay que hacer es dividir el número en dos partes en la primera entran todos las cifras menos la última, que es la que se multiplica por el número asociado y el resultado se suma a la primera parte. Así 28373 lo divido en 2837 y 3, y al 3 lo multiplico por el número asociado y lo sumo:
28373 : 2837 + (3 x -5) = 2837-15 = 2822
como no sabemos si 2822 es múltiplo de 17 repetimos el proceso :
2822 : 282 + (2 x -5) = 282 -10 = 272
una vez mas :
272 : 27 + (2 x -5) = 17
Por lo tanto 28373 es múltiplo de 17 (obviamente que también lo son 2822 y 272)
Usando el 12 en vez de -5 :
28373 : 2837 + 3 x 12 =2873
2873 : 287 + 3 x 12 =323
323 : 32 + 3 x 12 = 68
y como 68 es múltiplo de 17, 28373 también lo es.
Como encontrar los números asociados?
Hay buscar el menor múltiplo del primo que termine en 1, así por ejemplo para el 17 este número es el 51 (3 x 17).
Uno vez obtenido este múltiplo, el número asociado son todos los dígitos de este número sin el último, multiplicado por -1. Así obtenemos el -5, el otro número asociado sale de la suma del primo mas este primer número, o sea 17 - 5 = 12
Otro ejemplo , si el primo es 19 el menor múltiplo terminado en 1 es 19 x 9 = 171, entonces los número asociados son -17 y 2.
Si el primo termina en uno, el número asociado es el negativo de los primeros dígitos del primo.
Así para el 31 , -3 es uno de los números (28 es el otro)
Porque funciona?
Veamoslo con el 17
Si el número N es múltiplo de 17 entonces
N = 17a = 10 P + U
donde P = primeros dígitos de N, salvo el último y U = último dígito de N
Si multiplicamos por -5 ambos miembros :
17 (-5a) = -50P - 5 U
Sumando 51P a ambos miembros (noten que 51 es el menor múltiplo de 17 terminado en 1) :
17(-5a) + 51P = P -5U
Vemos que en lado derecho tenemos el número que obtenemos después de realizar el primer paso, ahora hay que demostrar que el lado izquierdo es múltiplo de 17
17(-5a) + 17.3.P = 17 (-5a+3P)
Así queda demostrado que si 10P + U es múltiplo de 17, P-5U también lo es.
Tabla de números asociados para los primos hasta el 971
Analizando un poco la tabla podemos calcular mas rápido los números asociados :
Si el test es para un primo terminado en 9 (xxxxx9), y el número a evaluar es M,
el número asociado positivo es uno mas que los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es divisible por el primo 269, se multiplica el último dígito de M por 27 y se suma a lo que queda.
M= 2152 : 215 2
Primo = 269, número asociado uno mas que los primeros dígitos = 27
2152 : 215 + 27*2 = 269 , por lo tanto 2152 es múltiplo de 269
Si el test es para un número primo terminado en 1 (xxxxx1), y el número asociado negativo son los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es múltiplo del primo 61, se multiplica el ultimo dígito de M por -6 y se suma a los primeros dígitos de M
1037 : 103 - 7*6 = 61, por lo tanto 1067 es múltiplo de 61
El numero asociado positivo en primos terminados en 7 es 7 x primeros números del primo mas 5,
ej para el primo 13687: 7 x 1368 +5 = 9581
El numero asociado positivo para primos terminados en 3 es 3 x primeros números del primo + 1
ej para el primo10273: 3 x 1027 + 1 = 3082
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
Para los primeros números primos existen reglas muy simples que todo el mundo conoce, que aquí las repito:
Un número es divisible por 2 si termina en un número par
Un número es divisible por 3 si la suma de los dígitos de dicho número es múltiplo de 3
Un número es divisible por 5 si termina en cero o cinco
Pero que pasa para números primos mas grandes?
Existe un método que permite generar una regla para cada número primo. En esta entrada les voy a explicar como saber si un número es divisible por un número primo determinado sin tener que hacer la división, porque el método funciona y como obtener los números que permiten hacer estos cálculos.
El método se basa en una acción recursiva sobre el número original, haciéndolo cada vez mas pequeño hasta lograr un número que nos permita saber si es múltiplo o no del primo elegido.
Cada número primo tendrá dos números asociados (uno positivo y otro negativo) que permitirán ir disminuyendo el valor del número original hasta que tome un valor tal del cual podamos decir si es o no múltiplo del primo elegido
Voy a explicarlo usando un ejemplo:
Es 28373 divisible por 17?
Los números asociados al 17 son -5 y 12
Lo que hay que hacer es dividir el número en dos partes en la primera entran todos las cifras menos la última, que es la que se multiplica por el número asociado y el resultado se suma a la primera parte. Así 28373 lo divido en 2837 y 3, y al 3 lo multiplico por el número asociado y lo sumo:
28373 : 2837 + (3 x -5) = 2837-15 = 2822
como no sabemos si 2822 es múltiplo de 17 repetimos el proceso :
2822 : 282 + (2 x -5) = 282 -10 = 272
una vez mas :
272 : 27 + (2 x -5) = 17
Por lo tanto 28373 es múltiplo de 17 (obviamente que también lo son 2822 y 272)
Usando el 12 en vez de -5 :
28373 : 2837 + 3 x 12 =2873
2873 : 287 + 3 x 12 =323
323 : 32 + 3 x 12 = 68
y como 68 es múltiplo de 17, 28373 también lo es.
Como encontrar los números asociados?
Hay buscar el menor múltiplo del primo que termine en 1, así por ejemplo para el 17 este número es el 51 (3 x 17).
Uno vez obtenido este múltiplo, el número asociado son todos los dígitos de este número sin el último, multiplicado por -1. Así obtenemos el -5, el otro número asociado sale de la suma del primo mas este primer número, o sea 17 - 5 = 12
Otro ejemplo , si el primo es 19 el menor múltiplo terminado en 1 es 19 x 9 = 171, entonces los número asociados son -17 y 2.
Si el primo termina en uno, el número asociado es el negativo de los primeros dígitos del primo.
Así para el 31 , -3 es uno de los números (28 es el otro)
Porque funciona?
Veamoslo con el 17
Si el número N es múltiplo de 17 entonces
N = 17a = 10 P + U
donde P = primeros dígitos de N, salvo el último y U = último dígito de N
Si multiplicamos por -5 ambos miembros :
17 (-5a) = -50P - 5 U
Sumando 51P a ambos miembros (noten que 51 es el menor múltiplo de 17 terminado en 1) :
17(-5a) + 51P = P -5U
Vemos que en lado derecho tenemos el número que obtenemos después de realizar el primer paso, ahora hay que demostrar que el lado izquierdo es múltiplo de 17
17(-5a) + 17.3.P = 17 (-5a+3P)
Así queda demostrado que si 10P + U es múltiplo de 17, P-5U también lo es.
Tabla de números asociados para los primos hasta el 971
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Analizando un poco la tabla podemos calcular mas rápido los números asociados :
Si el test es para un primo terminado en 9 (xxxxx9), y el número a evaluar es M,
el número asociado positivo es uno mas que los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es divisible por el primo 269, se multiplica el último dígito de M por 27 y se suma a lo que queda.
M= 2152 : 215 2
Primo = 269, número asociado uno mas que los primeros dígitos = 27
2152 : 215 + 27*2 = 269 , por lo tanto 2152 es múltiplo de 269
Si el test es para un número primo terminado en 1 (xxxxx1), y el número asociado negativo son los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es múltiplo del primo 61, se multiplica el ultimo dígito de M por -6 y se suma a los primeros dígitos de M
1037 : 103 - 7*6 = 61, por lo tanto 1067 es múltiplo de 61
El numero asociado positivo en primos terminados en 7 es 7 x primeros números del primo mas 5,
ej para el primo 13687: 7 x 1368 +5 = 9581
El numero asociado positivo para primos terminados en 3 es 3 x primeros números del primo + 1
ej para el primo10273: 3 x 1027 + 1 = 3082
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lunes, 18 de febrero de 2013
1083 - A ojo de buen cubero
Recientemente se descubrió el primo mas grande que se conoce hasta la fecha, 
que es el primo de Mersenne N° 48, el segundo primo mas grande que se conoce es 
que es el primo de Mersenne N° 47.
Es interesante notar que el mas grande tiene alrededor de 17 millones de dígitos, en tanto que el segundo tiene mas o menos 12.9 millones.
A ojo de buen cubero, ¿Cuántos primos creen que hay como mínimo entre estos dos ?
que es el primo de Mersenne N° 48, el segundo primo mas grande que se conoce es que es el primo de Mersenne N° 47.Es interesante notar que el mas grande tiene alrededor de 17 millones de dígitos, en tanto que el segundo tiene mas o menos 12.9 millones.
A ojo de buen cubero, ¿Cuántos primos creen que hay como mínimo entre estos dos ?
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viernes, 15 de febrero de 2013
1082 - Cubos encadenados
jueves, 14 de febrero de 2013
1081 - Raíces pandigitales
La raíz cuadrada de 86 presenta la particularidad de que después de la coma aparecen todos los dígitos del 1 al 9 :
Raíz (86) = 9.273618495....
¿Cuál es el menor número en el que en su raíz cuadrada aparecen los dígitos del 0 al 9 en forma consecutiva pero no en orden después de la coma?
¿Y el siguiente a 86 en el que aparecen los números del 1 al 9 (pero no el cero)?
Raíz (86) = 9.273618495....
¿Cuál es el menor número en el que en su raíz cuadrada aparecen los dígitos del 0 al 9 en forma consecutiva pero no en orden después de la coma?
¿Y el siguiente a 86 en el que aparecen los números del 1 al 9 (pero no el cero)?
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miércoles, 13 de febrero de 2013
1080 - 11 a la 79
martes, 12 de febrero de 2013
1079 - 987654321 en los cuadrados
lunes, 11 de febrero de 2013
1078 - Potencias cuya suma de digitos es igual a la base II
viernes, 8 de febrero de 2013
1077 -Potencias cuya suma de digitos es igual a la base
jueves, 7 de febrero de 2013
1076 - El próximo año
miércoles, 6 de febrero de 2013
1075 - De que año es?
martes, 5 de febrero de 2013
1074 - 123456789 en los cuadrados
lunes, 4 de febrero de 2013
1073 - Ordenaditos
viernes, 1 de febrero de 2013
1072 - Primo que se transforma en cuadrado
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