Usted ve la mano, nota que hay un As y dice "tengo un as".
¿Cuál es la probabilidad de que usted tenga otro as?
Las barajas se recogen y se reparte una nueva mano.
En esta ocasión nos fijamos en la mano y vemos que tenemos el As de corazones
¿Cuál es la probabilidad, esta vez, de que tenga otro as?
Pregunta: ¿Es la probabilidad en el segundo caso la misma que en la primera, es menor, o es más alta?
Piensélo.
Este es un problema en el que la primera impresión nos hace pensar que el problema no tiene mucho sentido, pero cuando se analiza matematicamente, se ve que la intuición no siempre va de la mano con la realidad.
Si sabe de probabilidad intente resolverlo antes de seguir leyendo
Lo que en realidad nos pide el problema es calcular y comparar las siguientes probabilidades :
- Manos con al menos dos ases / Manos con al menos un as
- Manos con al menos dos ases (uno de los cuales es el as de corazones) / Manos con el As de Corazones
Aquí van los cálculos :
Para evitar usar ecuaciones muy grandes, voy a utilizar la abreviatura B{n, r} para representar al número combinatorio = n! / (r! (n-r)!)
- Número total de manos posibles = Son todas las formas posibles de combinar las cartas para hacer una mano de bridge. Hay 52 cartas en una baraja, y son 13 en una mano = B{52,13}
- Manos sin ases = El número de manos que no tienen ases. Hay 48 naipes que no son ases, y 13 en una mano = B{48,13}
- Al menos un as = El número de manos que tienen al menos un As = Número total de manos posibles - Manos sin ases = B{52,13} - B{48,13}
- Exactamente un as = El número de manos que tienen un solo As. (Elija cualquier As, a continuación, elija 12 no ases) = B{4,1} x B {48,12}
- Al menos dos ases = Comience con el número total de manos, y luego reste las manos que tienen o un as o ninguno. Usted se queda con el número de manos con dos o más ases = Número total de manos posibles - (Manos sin ases + Exactamente un as) = B{52,13} - (B{48,13} + B{4,1} x B{48,12} )
Ahora tenemos suficiente para calcular nuestra primera relación (las probabilidades de tener un segundo As, si usted afirma que tiene un As):
Al menos dos ases / Al menos un as =
B{52,13} - (B{48,13} + (B{4,1} x B{48,12} ) / (B{52,13} - B{48,13}) = 36,27%
o sea que la probabilidad de tener un segundo as en una mano de trece cartas cuando uno tiene un as es del 36.27%
Vamos a calcular ahora la segunda probabilidad, para ello necesitamos saber :
- Con As de Corazón = Número de manos con el as de corazón. (Elegimos el As de corazón, y luego tenemos que elegir 12 cartas de las 51 restantes) = B{51,12}
- Sin otros ases = Número de manos sin otros ases = B{48,12}
- Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón = Número de manos con al menos dos ases, uno de los cuales es el As de corazón = Con As de Corazón - Sin otros ases = B{51,12} - B{48,12}
Ahora ya podemos calcular la segunda probabilidad (posibilidad de tener un segundo As si usted afirma que tiene el As de corazón):
Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón / Con As de Corazón=
( B{51,12} - B{48,12} ) / B{51,12} = 56,12%
He aquí el resultado sorprendente : Si usted dice "Tengo el As de corazones", es más probable que usted tenga otro As que si solamente usted dice "Tengo un as"!
Si usted afirma que tiene el As de corazones hay 11686/20825 de probabilidad de que tiene (al menos) otro As, o sea un 56,12%. Si usted afirma que tiene un As, la posibilidad de que tenga (al menos) otro As es de 5359/14498 (que es 36,27%). Es un 50% menos probable!
Basado en el artículo Counterintuitive Conundrums
Esta entrada participa de la edición 3.141592 del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza ZTFnews.org
Si lo quieres compartir o guardar
Entradas
