937 - Poniendo paréntesis

La expresión  a + b x c + d puede dar cuatro resultados diferentes según como se pongan los paréntesis

1. ((a+b)xc)+d = (a+b)c+d
2. (a+(bxc))+d = a+bc+d
3. (a+b)x(c+d) = (a+b)(c+d)
4. a+(bx(c+d)) = a+b(c+d) 

¿Cuántos resultados diferentes puede dar la expresión a+bxc+dxe+f, según se pongan los paréntesis?

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937 - Poniendo paréntesis

936 - Dividiendo a los números

¿Es posible dividir todos los números del 1 al 2012 en dos grupos, S y P, tal que la suma de los números de S sea igual al producto de los números que están en P?
¿y si fueran 2011 ó 2013 ?
Si es posible, ¿Cómo estarían formados esos conjuntos?

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936 - Dividiendo a los números

935 - Cumpledías primo

Hoy este blog tiene un cumpleaños primo, ya que hoy cumple 1223 días o sea que es el  cumpledías primo número 200 del blog.


Me enteré gracias a primebirthday

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935 - Cumpledías primo

934 - Como la teoría de juegos ha resuelto un misterio religioso

origen de la imagen: marvinxsteadfast a través de Flickr

El problema de la quiebra

Un hombre tiene deudas por $100, $200 y $300, pero muere con fondos insuficientes para pagarlas.

¿Cómo debe ser repartida su herencia, que proporción le corresponde a cada deudor?

Como todos sabemos, puede que haya mas de una respuesta correcta. División justa es un concepto que depende tanto de la lógica como de las costumbres sociales. Para ver por qué, considere las siguientes situaciones :

• Un padre promete regalos a sus hijos, pero tiene que retractarse cuando el premio recibido es menor de lo esperado
• Los asistentes a  un restaurante ordenan distintos platos, y luego terminan discutiendo sobre la mejor manera de dividir la cuenta

No hay una sola manera de acercarse a cualquiera de estos problemas. Estas son peleas familiares y pleitos  que vemos todos los días. El conflicto es una cuestión de perspectiva.

Algunas personas prefieren la división proporcional que depende del tamaño de la deuda. Un ejemplo es el clásico "cada uno paga lo suyo" donde cada uno de los clientes paga lo que pidió. Tan lógico como suena, no todos están de acuerdo con este método.

Otros prefieren dividir las cosas por igual. Ellos argumentan que es la persona, no el tamaño de la deuda lo que importa. La división equitativa es común especialmente entre las familias con niños pequeños. Durante la época de Navidad o las vacaciones, los padres pueden optar por dar a cada niño un mismo regalo, independientemente de la edad o el mérito.

Lo que es aceptado depende de la costumbres sociales. Lograr que todos estén de acuerdo es un ejercicio de persuasión, no de economía.

Una de las primeras discusiones de la división justa proviene del Talmud de Babilonia, (es una obra que recoge principalmente las discusiones rabínicas sobre leyes judías, tradiciones, costumbres, leyendas e historias). En el Talmud se discute un problema de quiebra en el contexto de un hombre que ofrece créditos a sus esposas en exceso de sus activos. La respuesta del Talmud no es inmediatamente evidente, y de hecho, la respuesta desconcertó a académicos por casi 2.000 años. Veamos el por qué.

La respuesta del Talmud

El talmud presenta tres ejemplos de división de bienes en los cuales el monto a repartir es de 100$, 200$ y 300$ y en los tres casos hay  tres acreedores que reclaman las sumas de $100, $200 y $300 respectivamente .

 El texto no contiene una regla general, que es lo que hace que estas respuestas aparentemente sean contradictorias. 

• En el primer caso, cuando el monto a repartir es de $100, el Talmud dice que hay que darle $33 1/3 a cada uno de los acreedores. La división sugiere un principio de  reparto equitativo, que es fácil matemáticamente y tiene un atractivo social. Pero extrañamente no es la misma idea utilizada en los otros casos.
• Para el tercer caso (de $300), el Talmud ofrece una división de $50, $100 y $150. Las matemáticas en este caso indican una división proporcional en función del tamaño de la deuda. En los tiempos modernos, la división proporcional tiene un gran atractivo entre los abogados y los economistas. En este punto cabe preguntarse ¿Por qué  el caso de 300 es tratado de manera diferente que en el caso de 100?

Si esta pregunta le molesta, entonces prepárese para una sorpresa en la división de 200.

• En este caso, los $200 se deben dividir según el talmud en 50, 75 y 75. En este caso la división no es ni un reparto equitativo ni una división proporcional, sino que es simplemente una decisión diferente.

¿Por qué al segundo y al tercer acreedor se le da la misma cantidad de dinero?

¿Y de dónde vienen dichos números?

Antes de continuar, vale la pena resumir los repartos en una tabla. Podemos pensar en las respuestas del Talmud como una tabla que ilustra cómo se divide el dinero. Ofrezco una ilustración  abajo, en la que las filas son los montos a repartir, las columnas lo que reclama cada acreedor, y ​​las entradas de la tabla son el tamaño de la división.

Las respuestas han desafiado una explicación adecuada por casi 2.000 años, y se han escrito varios volúmenes tratando de explicar esta división. Inclusive algunos estudiosos han dicho que el caso de 200 podría ser un problema de transcripción defectuosa.

La teoría de juegos ofrece una respuesta

En la década de 1980, los profesores Robert Aumann y Maschler Michael escribieron un artículo en el que afirmaban haber resuelto el misterio.

Ellos sugieren que no hay falta de coherencia en la respuesta del Talmud. Aumann y Maschler demuestran que la respuesta del Talmud puede ser vista como una aplicación coherente de un principio de la teoría de juegos. ¿Por qué se utiliza la teoría de juegos?
Resulta que la respuesta del Talmud es la solución de un juego bien definido: la coalición. Aumann y Maschler explican el concepto en términos simples como un principio único y consistente: la división igualitaria de la cantidad reclamada en cuestión.

Vale la pena ser escéptico antes de proceder. Es la explicación de una simple coincidencia? Después de todo, es probable que haya un número infinito de explicaciones que pueden producir la misma división.

Aumann y Maschler justifican su respuesta mediante el examen de otros pasajes del Talmud  de los que se deduce el mismo principio.
División igualitaria de la cantidad en cuestión era al parecer una costumbre social y que ayudaría a explicar por qué podría parecer extraño para nosotros, pero podría haber sido natural para su cultura.

A continuación voy a explicar el concepto de "reparto equitativo de la cantidad en cuestión," y describir por qué la respuesta Talmud lo demuestra.

Reparto equitativo de la cantidad en cuestión, dos personas

El Talmud  examina una situación que podría haber sido común en esa época. Supongamos que dos personas están discutiendo sobre una prenda de vestir. Uno afirma que la mitad le pertenece, mientras que la otra dice que la prenda es de él. Se le pide a un juez que decida quién obtiene qué.
¿Qué haría usted?

Hay varias respuestas, naturalmente. Se podría dividir mitad y mitad (1/2, 1/2) o una hacer una división proporcional (1/3, 2/3).

Pero el Talmud ofrece una respuesta diferente, una respuesta que resulta ser un reparto equitativo de la cantidad en cuestión (1/4, 3/4). ¿Cómo funciona esta ley? Hay tres etapas.

• En primer lugar, decidir qué porción de la tela está en disputa. En este caso, exactamente la mitad de la prenda está siendo reclamada por ambas partes.
• En segundo lugar, dividir lo disputado entre ambas partes, así que 1/4 de la tela se otorga a cada uno. 
• Y en tercer lugar, dar el resto de la tela "indiscutible" parte-todo a la persona cuya solicitud no esta en discusión.

Esta lógica produce una separación de 1/4 para la persona que reclama la mitad de la prenda y 3/4 para la persona que reclama todo el conjunto.

Esta respuesta puede parecer extraña, pero hay que recordar que los métodos de división dependen de las costumbres sociales.

El mismo método puede ser utilizado para cualquier otro problema entre dos reclamantes, con los mismos tres pasos anteriores:

1. Determinar qué parte es impugnada o reclamada por ambas partes
2. Dividir la parte reclamada por igual
3. Asignar la parte no reclamada, a la única persona que lo reclama

¿Cómo puede ser aplicado este principio? En realidad, se puede aplicar a muchas situaciones, como cuando las demandas son mayores que los activos que se dividen, como en el caso de división de una finca.

Reparto equitativo de la cantidad en cuestión, dos acreedores

Merece la pena ir a través de algunos ejemplos para tener mas clara la idea.
Vamos a examinar cómo dividir los bienes de varios tamaños entre dos acreedores que reclaman 100 y 300.

Ejemplo 1: (bienes 66 2/ 3)

Si el patrimonio es 66 2/ 3, entonces toda la finca es controvertida. La división debe ser  33 1/3 para cada uno.

Ejemplo 2: (bienes 125)

Si la finca es de 125, entonces los primeros 100 son reclamados por ambas partes y por lo tanto dividido en partes iguales. Los 25 restantes es totalmente adjudicado al que demanda 300. Por lo tanto, la división es de 50 y 75.

Ejemplo 3: (bienes 200)

Por último, si la finca es de 200,  de nuevo los primeros 100 son reclamados por ambas partes y dividido en partes iguales. Los restantes 100 son totalmente adjudicados al demandante de 300. Por lo tanto, la división es de 50 y 150.

Aquí están las divisiones en forma de tabla:

¿Por qué parar ahí? He aquí algunos ejemplos cuando las demandas son (100, 200) y (200, 300). Tenga en cuenta que estos son los pares restantes de las reclamaciones de la división de tres personas que está motivando este artículo.

Como explicar el enigma del Talmud

Volvamos a la división del Talmud para los tres acreedores. En el caso de una finca de 200, la división fue de 50, 75 y 75 para los que demandaban 100, 200 y 300 respectivamente.

Para analizar esta respuesta, vamos a hacer el siguiente ejercicio. Tome cualquiera de los dos acreedores y piense en cómo dividir el dinero total adjudicado. ¿Por qué haríamos eso? Se trata de una verificación de la consistencia . Tiene sentido que para un par de  acreedores el monto sea dividido de una manera consistente con la forma en que se divide una prenda de vestir en disputa.

Tomemos por ejemplo el par de acreedores que reclaman 100 y 200. En conjunto, se les otorga un suma de 125. ¿Cómo hay que dividir la suma? Se divide en 50 y 75. Y, sorprendentemente,  coincide con el trabajo que hicimos en los ejemplos anteriores: la respuesta es coherente con un reparto equitativo de la cantidad en cuestión!
La lógica es que los primeros 100 son reclamados por ambas partes y divididos en partes iguales, y el resto 25 se le otorga al demandante de 200.

De hecho, la misma observación se puede ver a la hora de considerar los otros pares de acreedores. Fijense en  la cantidad que reciben lo que reclaman 100 y 300 . En conjunto, recibirán una suma de 125, y esta se divide en 50 y 75. Una vez más, esta respuesta es consistente con un reparto equitativo de la cantidad en cuestión.

Por último, considere la recompensa total de las partes que reclamaban 200 y 300 . En este caso, la suma total de 150 se divide en un 75 a cada uno. Como la suma total es menor a la menor reclamada, esta refleja una vez más una división igual de la cantidad en cuestión.

En otras palabras, cuando la misteriosa solución Talmud se divide por parejas de acreedores, hay un principio consistente. Creo que es bastante notable.

Aumann y Maschler demuestran que el método puede ser extendido, si las reclamaciones son por tres acreedores, un centenar de acreedores, o incluso un millón de acreedores. La misma condición debe cumplirse: los activos se dividen de tal manera que la cantidad recibida por cualquiera de las dos personas  refleja el principio de reparto equitativo de la cantidad en cuestión . Por otra parte, la división es una solución única.

Un algoritmo

Es  bueno  ver que las divisiones son equitativas para las cantidades reclamadas.
Pero, ¿cómo encontrar estas divisiones?

Aumann y Maschler muestran que en realidad es sólo una división que es consistente. Y esta respuesta puede ser descrita por el siguiente algoritmo  de siete pasos:

1. Ordene los acreedores  en base a sus reclamos de menor a mayor.
2. Divida el monto en partes iguales entre todas las partes hasta que el menor acreedor recibe la mitad de lo que demanda.
3. Divida el monto restante en partes iguales entre todos los acreedores,(sin tener en cuenta ahora a el menor acreedor) hasta que el siguiente menor  reciba la mitad de su demanda.
4. Continúe hasta que cada acreedor haya llegado a la mitad de su demanda original.
5. Ahora, a la inversa. Empezar a dar el dinero al más alto demandante hasta que la pérdida , la diferencia entre lo que demanda y lo que recibe, sea igual a la pérdida para el acreedor más alto.
6. Luego divida el monto en partes iguales entre los más altos acreedores hasta que la pérdida del más alta acreedor sea igual a la pérdida del demandante más alto siguiente.
7. Continúe hasta que todo el dinero  haya sido repartido.

Así es como las reclamaciones se pueden dividir en el ejemplo del Talmud:

Misterio resuelto? Creo que sí. No sólo las respuestas del Talmud siguen un principio constante, sino que también se basan en una idea  que era una costumbre social.

En ese caso, sin duda es un caso interesante que una herramienta de la lógica y la racionalidad, la teoría del juego fuera necesaria para decodificar la solución al problema del Talmud, que todo dependía de las costumbres sociales.

(Notas para las fuentes: El trabajo académico original se encuentra en Journal of Economic Theory 36 (1985), pp 195-213 ( texto completo ) En este artículo, basado en una técnica complementaria no el artículo ". Teoría de Juegos en el Talmud " escrito por Robert Aumann, obtenidos del sitio web el profesor Jacob Rosenberg. (También deseo crédito Paul Walker es la cronología de la teoría de juegos , el documento que me presentó  este problema fascinante).


Traducción  del artículo  : How Game Theory Solved a Religious Mystery

Estada entrada participa del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Gaussianos

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934 - Como la teoría de juegos ha resuelto un misterio religioso

933 - Consecutivos múltiplos de cuadrados de primos

Estuve buscando números consecutivos que sean divisibles por cuadrados de primos. 
El primer par que encontré fue 8 y 9. 
8 = 2 ² x 2 y 9 = 3² 
El siguiente es  24, 25. 
 24 = 2² x 6 y 25 = 5²
Después de un tiempo me di cuenta de que hay muchos pares de estos números.


¿Cuál es el primer grupo de tres números consecutivos, múltiplos de cuadrados de primos?


¿y el primer grupo de cinco? 


¿Habrá un grupo de exactamente cuatro?

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933 - Consecutivos múltiplos de cuadrados de primos

932 - ¿Quién ganó?

- ¿ Por qué estén discutiendo ? - preguntó el abuelo
-  En el colegio organizaron una competencia individual de 30 preguntas y daban un punto por cada pregunta que estuviera bien respondida. - dijo Romina
- Unos días antes de que se haga la competencia los varones le apostamos a las chicas que ibamos a contestar entre los tres, mas preguntas que ellas. - dijo Fabián
- Asi es - dijo Adam - y en caso de que los dos equipos obtuviéramos la misma suma, ibamos a multiplicar los puntos, y el grupo que obtuviera el mayor valor sería el ganador.
- Pero, - dijo Agustina - cuando hicimos las cuentas, notamos que los dos equipos sacamos la misma suma y el mismo producto.
- Entonces empataron...
- No, porque una de nosotras fue la que mas puntos sacó de todos.


¿Cuántas preguntas repondió cada uno de los seis chicos, sabiendo que la que mas puntos sacó, respondió siete preguntas mas que el que menos respondió?

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932 - ¿Quién ganó?

931 - Hoy

Hoy 19 de mayo es el día 140 del año.


140 =  9*8+7*6+5*4+3*2-1*0

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931 - Hoy

930 - Nueves elevados a la novena

Las últimas 30 cifras de 9999⁹ , 359916012598740083996400089999,  forman un número un primo con 9 nueves y terminado en 9999


Las últimas 37 cifras de 99999⁹ ,3599916001259987400083999640000899999, forman un número primo con 13 nueves que termina en 9999


Las últimas 8 cifras de 9999999⁹ , 89999999, forman un número primo con 7 nueves que termina en 999999


Las últimas 48 cifras de 999999999⁹, 125999999874000000083999999964000000008999999999, forman un primo con 22 nueves que termina en 999999999


Las últimas 107 cifras de 999999999999999⁹ , 35999999999999916000000000000125999999999999874000000000000083999999999999964000000000000008999999999999999, forman un primo  con 53 nueves que termina en 999999999999999 

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930 - Nueves elevados a la novena

929 - Potencias de 77

77³ = 456533  = (–456+533)³

77⁴ = 35153041  = (–35+153–041)⁴

77⁵ = 2.706.784.157  = (–2+706–784+157)⁵

77⁶ = 208.422.380.089  = (208–422+380–089)⁶

77⁸ = 1.235.736.291.547.681  = 

         (1–235+736–291+547–681)⁸

77⁹ = 95.151.694.449.171.437  = 

         (–95+151–694+449–171+437)⁹ 

77⁷ = 16.048.523.266.853  

          y  

          16–048+523–266+853 = 1078 

          y  

          –1+078=77


Actualización: Antonio Cebrián Gil me manda estas extraordinarias igualdades:


77¹⁰ =7326680472586200649 = (7+3+2+6+6+8+0+4+7+2+5+8+6+2+0+0+6-4+9)¹⁰

77¹¹ = 564154396389137449973  =(-5+6+41+54+39+63+89+13-74-49-97-3)¹¹

77^(1/77) = 1.058034622548507153 =(1+5-80-34-62+25+48+50+71+53)^(1/77)



77 ^{(35203072/133581989)} = 3.141592653589... 
(Que tiene una diferencia con pi de tan solo 5.32 x 10^-15)


Pero las cifras del exponente: 
35 - 20 + 30 + 72 - 13 - 35 - 81 + 98 - 9 = 77

Y en las cifras de pi:
31 - 41 - 59 + 26 + 53 + 58 + 9 = 77

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929 - Potencias de 77

928 - Otro de probabilidades de cumpleaños

Si suponemos que la probabilidad de que el cumpleaños de una persona caiga en un determinado mes sea 1/12, 
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 12 personas, ninguno de ellos cumpla el mismo mes?




 del libro Challenging mathematical problems with elementary solutions de A. M. Yaglom, I. M. Yaglom

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928 - Otro de probabilidades de cumpleaños

927 - ¿Cuál no se vendió?

Horacio tenía varios barriles de vino a la venta.
Los barriles contenían las siguientes cantidades de litros:  15,16,18,19,21,22,23,25,28,31,33,34,37,39,40. 
Catorce de los barriles tenían vino tinto y uno solo tenía vino blanco.
Por la mañana Carlos se llevó algunos barriles de vino tinto.
A la tarde llegó Marta que compró el resto de los barriles de vino tinto.
Horacio notó que Marta compró justo el doble que Carlos.

¿Cuantos litros tenía el barril de vino blanco que no se vendió?

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927 - ¿Cuál no se vendió?

926 - Ecuación que genera ecuacion

La siguiente ecuación :

Genera este gráfico :

En general en las calculadoras uno ingresa una fórmula y obtiene el gráfico de la curva, pero en la página Inverse Graphing Calculator podemos hacer lo contrario ingresamos el texto que queremos que aparezca en el gráfico y nos dan fórmula de la misma. (así por ejemplo podríamos finalmente obtener una fórmula que genere  números primos :))

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926 - Ecuación que genera ecuacion

925 - Una extraña igualdad

En la siguiente imagen vemos una extraña igualdad.
¿Cómo es posible que 100 francos sean iguales a 1000 francos?

Pista 1: Si fueran billetes de 10000 y 10000000 de francos la igualdad seguiría vigente.
Pista 2 : No tiene nada que ver con la diferencia de cotizaciones de los distintos tipos de moneda.
Pista 3 : No es un problema matemático sino mas bien lingüístico, aunque la respuesta es matemática.
Pista 4: El que sean francos es importante

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925 - Una extraña igualdad

924 - Los 21 dígitos finales de 99^99

Los 21 dígitos finales de 99⁹⁹  forman el número  999779999159200499899, el cual es primo y además tiene 12 nueves.

Vía @pickover

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924 - Los 21 dígitos finales de 99^99

923 - Primos que generan primos III

Siguiendo con el tema de las entradas anteriores, en esta ocasión tomamos un primo y le sumamos los cubos de sus dígitos, si el resultado es un primo, repetimos el proceso hasta obtener un número compuesto.


El 11 genera una serie de tres primos :
11 : 11 + 1 + 1 = 13
13 : 13 + 1 + 27 = 41
41


Así el 11 genera : 11, 13, 41


¿Cuáles son los primeros primos que generan 4 , 6 , 7  y 8 primos usando este procedimiento?


¿Hay alguno que genera cinco?

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923 - Primos que generan primos III

922 - Primos que generan primos II

Siguiendo con el tema de ayer en esta ocasión tomamos un número primo y le sumamos los cuadrados de cada uno de sus dígitos, si el resultado es un número primo, repetimos el proceso hasta obtener un número compuesto.


499 es el primero que genera una serie de cinco primos (contándolo a él) 
499 : 499 + 16 + 81 + 81 = 677
677 : 677 + 36 + 49 + 49 = 811
811 : 811 + 64 + 1 + 1 = 877
877 : 877 + 64 + 49 + 49 = 1039  


La serie  es : 499, 677, 811, 877, 1039


¿Cuáles son los siguientes números que generan cinco primos?


¿Habrá alguno que genera seis?

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922 - Primos que generan primos II

921 - Primos que generan primos I

Tomamos un número primo y le sumamos sus dígitos, si el resultado es un número primo repetimos el proceso hasta obtener un número compuesto.



Con el 11 podemos repetir el proceso dos veces
13 = 11+1+1
17 = 13+1+3
Así el once genera la serie: 11, 13, 17


Lo mismo pasa con el 59 : 59, 73, 83  
En total  tenemos tres primos


¿Cuál es el primer primo que genera 4 primos? 
¿Y los primeros que generan 5 y 6 primos?

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921 - Primos que generan primos I

920 - Igual a la suma de sus dígitos por su reverso

81 es el primer número (después del uno) que es igual a la suma de sus dígitos multiplicado por esta suma "dada vuelta", ya que 81 = 9 x 9

¿Cuales son los dos siguientes números con esta característica?


Por ejemplo para 138 , la suma de sus dígitos da 12 = 1+3+8  y el reverso de 12  es 21, entonces 12 x 21 = 252 que evidentemente no es igual a 138

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920 - Igual a la suma de sus dígitos por su reverso

919 - La constante de Champernowne

La constante de Champernowne es el número real  0.123456789101112131415161718192... (Concatenación de todos los enteros)


La primera ocurrencia de una subcadena dada es bastante irregular


La primera ocurrencia de "400" se da en la  posición: 1090
La primera ocurrencia de "401" se da en la  posición:  311  


140     141     142   ...
1 [ 4 0 1 ] 4 1 1 4 2


¿Cuál es la posición de la primera ocurrencia de 10¹⁶?
¿Cuál es la posición de la primera ocurrencia de 10¹⁶-1?


Por ejemplo para 10⁷ y 10⁷-1 la respuesta sería :68888890, 61888884 

Problema de Mathalon

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919 - La constante de Champernowne

918 - Fracciones que general decimales pandigitales

La siguiente fracción tiene tanto un numerador como un denominador primo :

34481017 / 109613237 = 0.3145698270...

y lo curioso es que en el número decimal generado aparecen en las primeras diez posiciones decimales los diez dígitos sin repetir.

¿Cuántas fracciones como estas se pueden encontrar?

Supongo que muchas ya que esta la encontré haciendo una busqueda "a mano".

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918 - Fracciones que general decimales pandigitales