917 - Jugando y comiendo

- ¿Sabías que Pablo, Rodolfo, Esteban, Nazarena y Alejandra se reunieron para jugar juegos de ingenio y comer algo?
- Si, me invitaron pero no pude ir.
- Después de jugar y resolver problemas recreativos se dedicaron a comer las tres tortas idénticas que había en la mesa.
- Como siempre... 
- Si, pero como estaban todos con hambre, decidieron repartir las tres tortas de forma tal que a cada uno le tocara la misma cantidad.
- Pero eso es re-fácil, dividieron cada torta en cinco porciones y cada uno comió tres porciones...
- Ja, eso es lo que vos pensás, pero estos muchachos son complicados, querían comer todos lo mismo, pero que las porciones fueran lo mas grandes posibles y que la menor porción que se sirviera fuera lo mas grande posible.
- ¿Y encontraron una solución mejor que la mía?
- Si, si, encontraron dos soluciones mejores que la tuya, una en la que la porción mas chica era del mismo tamaño que vos propones pero la mayoría de las porciones son mas grandes y otra solución en la que la menor porción es mas grande.

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917 - Jugando y comiendo

916 - Documentales sobre las matemáticas

En la página CosmoLearning podemos ver  36 documentales sobre las matemáticas y 50 cursos de matemática. Lamentablemente para nosotros  los de habla hispana, todos estos films están en inglés

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916 - Documentales sobre las matemáticas

915 - Primorial como producto de capícuas

Así como existen los factoriales, existen los primoriales. 
El primorial n es igual al producto de los primeros n primos, se pueden ver los primeros términos en la OEIS A002110 (1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410, etc.)


¿Cual es el menor primorial que puede expresarse como producto de dos números capicúas de mas de un dígito cada uno?

Es decir no interesan los productos triviales del tipo 5 x 6 = 30 

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915 - Primorial como producto de capícuas

914 - Un problema y una conjetura

Hace ya un tiempo que quise saber cual era el número favorito de mis lectores, para ello hice una encuesta en la que recibí mucho aportes mas que interesantes. Entre las muchas respuestas recibidas está la que me envió  Jordi Domènech i Arnau  que es la que inspira esta entrada.


Existen mucho números enteros pares que son iguales a la suma de sus divisores propios mayores a su raíz cuadrada:


Tomemos por ejemplo el 402
Los divisores propios del 402 son : 1, 2, 3, 6, 67, 134 y 201 
La raíz cuadrada de 402 = 20.05
La suma de los divisores propios de 402 mayores a su raíz cuadrada es  67+134+201 = 402


Para el 2274
Divisores propios : 1, 2, 3, 6, 379, 758, 1137
Raíz cuadrada de 2274 = 47.69
La suma de los divisores propios de 2274 mayores a su raíz cuadrada es 379+758+1137 = 2274 


El problema consiste en encontrar un número impar con estas características.


Conjetura: ¿Es ese número impar EL ÚNICO que es igual a la suma de sus divisores propios mayores que su raíz cuadrada?. 
Jordi especula que si, pero no ha encontrado una demostración (y yo mucho menos). 
Dejo en manos de los que mas saben el demostrarlo o el encontrar un contraejemplo. Les informo que aparentemente si existiera otro número impar con estas características, este sería mayor a 2 x 10¹¹ según Donovan Johnson.


Manuel Valdivia  extendió la potencia de la raíz a 1/3, 1/4, 1/5,... y ha encontrado que la
singularidad del número impar parece estar también  presente para n^(1/3)  y  n^(1/4) en los números 407715 y 8415, con similares características.

Esta entrada forma parte de la Edición 3.141 del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog DesEquiLIBROS

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914 - Un problema y una conjetura

913 - Letras de los números

Si dividimos los números del uno al mil en grupos según  la cantidad de letras que tiene el nombre de cada número, sin contar los espacios en blanco, obtenemos 18 grupos. 
El grupo de tres letras tiene dos elementos:  uno y dos.
El de cuatro letras tiene siete elementos: tres, seis, ocho, diez, once, doce y cien.


¿Cuáles son los grupos que tiene un solo elemento?

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913 - Letras de los números

912 - Compartiendo dígitos

Navegando por la Oeis me encontré con esta serie A090230 :


12, 99, 169, 395, 499, 595, 606, 693, 824, 827, 840, 940, 1282, 1291, 1384, 1594, 1705, 1742, 1905, 2020, 2060, 2153, 2257, 2302, 2359, 2367, 2507, 2546, 2557, 2710, 2724, 2791, 2832, 2857, 3036, 3051, 3280, 3309, 3429, 3497, 3518, 3591, 3651, 3709, 3867




Son las posiciones decimales en que Pi, e y phi tienen el mismo dígito

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912 - Compartiendo dígitos

911 - Escribe < o >

La consigna del ejercicio dice :

Escribe < o >

Via fark

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911 - Escribe < o >

910 - 2012 como decimal

El menor número que tiene una raíz cuadrada cuyos decimales empiezan con 2012 es 3869, ya que la raíz cuadrada de 3869 = 62,20128616.....

¿Cuál es el siguiente?

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910 - 2012 como decimal

909 - Vuelven los castigos

La tarea para mañana es encontrar la suma de todos los números comprendidos entre 1 y 999999 que tienen al menos un siete.



Por ejemplo entre 1 y 99 esta suma da 1188.

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909 - Vuelven los castigos

908 - Las matemáticas y las estampillas

Así como hay estampillas de personajes históricos, animales, deportes y de lugares, también las hay sobre las matemáticas y los matemáticos.

Teorema de Pitágoras

Números binarios

Las hay no solo de los matemáticos mas conocidos como Pitágoras, Arquimedes, Euler y Gauss, sino que también las hay de  los menos conocidos por la gente no aficionada a las matemáticas. También hay estampillas dedicadas a temas matemáticos como el ábaco, los números arábigos, los números binarios, las máquinas de calcular, las computadoras, las figuras geométricas, los fractales, el número aúreo, los histogramas, el sistema métrico, la cinta de Moebius, etc, etc.

Homenaje a Arquímedes

39 primo de Mersenne

 Se pueden ver cientos de estas estampillas en alguno de los siguientes sitios:


Les timbres sur les mathématiques

Mathematik und Informatik Briefmarken  
Images of Mathematicians on Postage Stamps  
Mathematical Stamp Collecting  

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908 - Las matemáticas y las estampillas

907 - El producto de los primos gemelos

El producto de cada par de primos gemelos, salvo el primero, tiene siempre una suma digital igual a 8.

Se pueden ven los primeros productos en  OEIS A037074

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907 - El producto de los primos gemelos

906 - Juntando fondos

En el colegio de Josefa decidieron hacer un baile para juntar fondos para el campamento de fin de año.
Para el buffet decidieron vender alfajores. Compraron 100 alfajores a tres pesos cada uno.
Esa noche vendieron los alfajores a $5, pero al que compraba dos se los vendían a $9 y el que compraba tres pagaba solo $13.


Al finalizar el baile habían hecho 67 ventas y se habían vendido todos los alfajores.


¿Cuál fue la ganancia de Josefa?

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906 - Juntando fondos

905 - Efemérides recreativas

Una curiosidad para los amantes de los juegos y acertijos matemáticos. 
Un día como hoy, 10 de abril, nació Henry Dudeney (1857 - 1930)  uno de los mayores creadores de acertijos y entretenimientos matemáticos, y un día como hoy pero del año 1911, murió Sam Lloyd (1841-1911) el otro gran creador de problemas matemáticos recreativos.

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905 - Efemérides recreativas

904 - Variaciones en la población

La población de un pueblito varió mucho en los últimos años. 
En el año 2007 tenía exactamente 50000 habitantes, en el año 2008 tuvo una reducción  de su población debido a la sequía, lo mismo ocurrió en el año 2009. En el año 2010 gracias a los incentivos de su intendente logró aumentar su población, y lo mismo ocurrió en 2011. Actualmente cuenta con 36273 habitantes.


¿Sabría alguien capaz  de decirme los cuatro porcentanjes (los dos de reducción y los dos de aumento) que sufrió este pueblito?  

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904 - Variaciones en la población

903 - La constante de Hollywood

Así como en otra ocasión quise averiguar cuál era el mayor número que aparecía en el título de una película, y después quise saber cuál era el mayor primo que aparecía en las artes, en esta ocasión les vuelvo a hablar de los números y las artes.
En el año 2004, Jorge Stolfi, se hizo la siguiente pregunta  ¿Cuál es el menor número entero no negativo que jamás se ha usado en el título de una película?, a ese número decidió llamarlo la constante de Hollywood o *H. Después de una exhaustivo análisis llegó a la conclusión de que la constante de Hollywood hasta esa fecha era el número 85. Claro que es probable, como el bien lo planteó en su momento, que dicha constante fuera variando a lo largo del tiempo a medida que mas y mas películas se fueran creando.


Creo que esa misma pregunta se puede hacer en otros ámbitos de la cultura, por ejemplo 

¿Cuál es el menor número entero positivo que no aparece en el título de un libro o en el de una canción?

Aquí está el listado de los primeros cien números en títulos de películas que él encontró (con sus correspondientes links a IMDB):

[1] Capricorn One. (USA, Peter Hyams, 1978).
[2] Dona Flor e seus dois maridos. (Brazil, Bruno Barreto, 1976).
[3] Close Encounters of the Third Kind. (USA, Steven Spielberg, 1977).
[4] Four Weddings and a Funeral. (UK, Mike Newell, 1994).
[5] The Fifth Element. (France, Luc Besson, 1997).
[6] The Sixth Sense. (USA, M. Night Shyamalan, 1999).
[7] Det Sjunde Inseglet. (Sweden, Ingmar Bergman, 1957).
[8] Henry VIII and His Six Wives. (UK, Waris Hussein, 1973).
[9] Plan 9 from Outer Space. (USA, Edward Wood Jr, 1959).
[10] The Ten Commandments. (USA, Cecil De Mille, 1956).
[11] Those Magnificent Men in Their Flying Machines, or How I Flew from London to Paris in 25 hours 11 minutes. (UK, Ken Annakin, 1965).
[12] Twelve Monkeys. (USA, Terry Gilliam, 1995).
[13] Apollo 13. (USA, Ron Howard, 1995).
[14] Seven Wives for Seven Brothers. (USA, Stanley Donen, 1954).
[15] Un Capitán de quince años. (France/Spain, Jesus Franco, 1974).
[16] Sweet Sixteen. (USA, Jim Sotos, 1981).
[17] Stalag 17. (USA, Billy Wilder, 1953).
[18] Diciottenni al sole. (Italy, Camillo Mastrocinque, 1962).
[19] Nainteîn. (Japan, Kenso Yamashita, 1987).
[20] Rip's Twenty Years' Sleep. (USA, William Dickson, 1896).
[21] When We Were Twenty-One. (USA, Hugh Ford and Edwin Porter, 1915).
[22] Catch-22. (USA, Mike Nichols, 1970).
[23] 23 Paces to Baker Street. (USA, Henry Hathaway, 1956).
[24] Nijushi no hitomi. (Japan, Keisuke Kinoshita, 1954).
[25] Jonas qui aura 25 ans en l'an 2000. (France/Switzerland, Alain Tanner, 1976).
[26] Dvadtsat shest dnej iz zhizni Dostoyevskogo. (Soviet Union, Aleksandr Zarkhy, 1980).
[27] 27 Missing Kisses. (Germany/Georgia/UK/France, Nana Dzhordzhadze, 2000).
[28] 28 minuti per 3 milioni di dollari. (Italy, Maurizio Pradeaux, 1967).
[29] Vinte e Nove Irmãos. (Portugal, Augusto Fraga, 1965).
[30] Ti 30..., ti 40..., ti 50... (Greece, Costas Karagiannis, 1972).
[31] Ninety Degrees in the Shade. (Czechoslovakia/UK, Jirí Weiss, 1965).
[32] Sip si 32 doe. (Korea/Hong Kong, Patrick Leung, 1996).
[33] Tridtsat tri (Nenauchnaya fantastika). (Soviet Union, Georgi Daneliya, 1965).
[34] Miracle on 34th Street. (USA, George Seaton, 1947).
[35] Kalibre 35. (Colombia, Raúl Garcia, 2001).
[36] Shao Lin san shih liu fang. (Hong Kong, Chia-Liang Liu, 1978).
[37] Zie 37 Stagen. (Canada, Sylvain Guy, 1997).
[38] Super Colt 38. (Mexico, Federico Curiel, 1969).
[39] The 39 Steps. (UK, Alfred Hitchcock, 1935).
[40] Alibaba Aur Chalis Chor. (India, J. J. Madan, 1932).
[41] Alibabayum 41 Kallanmarnum. (India, Sasikumar, 1975).
[42] Al sur del paralelo 42. (Argentina, Catrano Catrani, 1955).
[43] Shell 43. (USA, Reginald Barker, 1916).
[44] Calibre 44. (Mexico, Julián Soler, 1960).
[45] Calibre 45. (USA, J. P. McGowan, 1924).
[46] Via Padova 46. (Italy, Giorgio Bianchi, 1954).
[47] 47 morto che parla. (Italy, Carlo Bragaglia, 1950).
[48] 48 Stunden bis Acapulco. (W. Germany, Klaus Lemke, 1967).
[49] Curse of the Forty-Niner. (USA, John C. Buechler, 2002).
[50] Attack of the 50 Foot Woman. (USA, Nathan Juran, 1958).
[51] Le Dossier 51. (France/W.Germany, Michel Deville, 1978).
[52] 52 Wochen sind ein Jahr. (E Germany, Richard Grosschopp, 1955).
[53] Kholodnoye leto pyatdesyat tretyego. (Soviet Union, Aleksandr Proshkin, 1988).
[54] Car 54, Where Are You? (USA, Al De Caprio and Nat Hiken, 1961).
[55] 55 Days at Peking. (USA, Nicholas Ray and Guy Green et al, 1963).
[56] 56 Rue Pigalle. (France, Willy Rozier, 1949).
[57] Sensuikan I-57 koufuku sezu. (Japan, Shuei Matsubayashi, 1959).
[58] Article 58/4. (Israel/Estonia, Pinchas Schatz, 1996).
[59] Psyche '59. (UK, Alexander Singer, 1964).
[60] Dix chapeaux en 60 secondes. (France, Georges Méliès, 1896).
[61] Highway 61. (Canada, Bruce McDonald, 1991).
[62] Private Detective 62. (USA, Michael Curtiz, 1933).
[63] Boy pana (Terror ng Maynila '63). (Philippines, Romy Suzara, 1978).
[64] 8 × 8. (USA, Hans Richter, 1957).
[65] 65, 66 och jag. (Sweden, Anders Henrikson, 1936).
[66] Avenida Roma, 66. (Spain, Juan Xiol, 1958).
[67] Rekrut 67, Petersen. (Denmark, Poul Bang, 1952).
[68] Barra 68 - Sem Perder a Ternura. (Brazil, Vladimir Carvalho, 2001).
[69] 69 Minutes. (USA, Ian Morrison, 1975).
[70] Seven, Seventeen and Seventy. (UK, Lewin Fitzhamon, 1910).
[71] Ekattorer Jishu. (Bangladesh, Nasiruddin Yousuff, 1993).
[72] Beijo 2348/72. (Brazil, Walter Rogério, 1990).
[73] LSD '73! (Ireland, Paul Duane, 2003).
[74] Undine 74. (W.Germany/Austria, Rolf Thiele, 1973).
[75] 75 centilitres de prière. (France, Jacques Maillot, 1995).
[76] 76-89-03. (Argentina, Cristian Bernard and Flavio Nardini, 2000).
[77] 5-25-77. (USA, Patrick Johnson, 2003).
[78] A 78-as szent Johannája. (Hungary, Kornél Mundruczó, 2003).
[79] 79 primaveras. (Cuba, Santiago Álvarez, 1969).
[80] Around the World in Eighty Ways. (Australia, Stephen MacLean, 1987).
[81] Ha-Makah Hashmonim V'Echad. (Israel, David Bergmen et al, 1974).
[82] Kharif 82. (Tunisia, Rachid Ferchiou, 1991).
[83] Gypsy 83. (USA, Todd Stephens, 2001).
[84] 84 Charing Cross Road. (UK/USA, David Jones, 1987).
[85] ?
[86] Love 86. (India, Esmayeel Shroff, 1986).
[87] Rozana cinta 87. (Malaysia, Nasir Jani, 1987).
[88] 88 Antop Hill. (India, Kushan Nandy, 2003).
[89] Junket 89. (UK, Peter Plummer, 1970).
[90] Neunzig Minuten nach Mitternacht. (W. Germany, Jürgen Goslar, 1962).
[91] 91:an Karlsson. (Sweden, Hugo Bolander, 1946).
[92] 92 in the Shade. (USA/UK, Thomas McGuane, 1975).
[93] Quatre-Vingt Treize. (France, André Antoine et al, 1920).
[94] Woodstock '94. (USA, Barbara Kopple, 1998).
[95] Brevet 95-75. (France, Pierre Miquel, 1934).
[96] Number 96. (Autralia, Peter Bernardos, 1974).
[97] 97 Brooks. (USA, Mikon Haaksman, 2002).
[98] Reno's Kids: 87 Days + 11. (USA, Whitney Blake, 1988).
[99] 99 and 44/100% Dead. (USA, John Frankenheimer, 1974). [100] Ladrão Que Rouba a Anão Tem Cem Anos de Prisão. (Portugal, Jorge Costa, 1992).  


Fuente The Hollywood constant

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903 - La constante de Hollywood

902 - Jugando con las palabras II

Siguiendo con el tema de la entrada anterior, en ésta pondré las palabras de cuatro letras que encontré que al desplazar cada una de sus letras un mismo número de lugares en el alfabeto da como resultado otra palabra. Yo encontré cerca de cien de estas palabras.
Como curiosidad podemos decir que existen tres grupos de palabras que generan no una, sino dos palabras por desplazamiento. Estos grupos son:

ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
STUVWXYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQR
ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
STUVWXYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQR


ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
DEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZABC
ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
DEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZABC


ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
VWXYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTU
WXYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUV
VWXYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTU


Aquí un grupo de cuatro palabras desplazadas:


ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
OPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNÑ
ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
OPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNÑ

Este es el listado completo de palabras de cuatro letras que encontré:

agur	joda
alas	papi
Aldo	pase
aleo	paté
alno	pace
alto	paje
alza	test
amia	seas
anay	coca
anda	obro
aovo	pele
arca	neón
arda	ogro
asan	cuco
asaz	pipo
asco	pire
aseo	pite
asgo	mera
asió	meta
asís	mete
asno	meya
aúpa	ojeo
aval	tote
baba	popo
baja	vudú
bala	pozo
baña	poco
beat	mole
befa	fije
bese	modo
bobo	nana
boom	erro
boro	nada
caía	usas
caja	gene
calo	geos
cama	uses
cebo	surf
ceje	noto
cese	nodo
chal	vate
chau	inga
choz	vais
cipe	yema
cono	rece
crup	lady
cuan	piña
cuma	unes
cuón	pica
dañe	herí
dará	rogo
debo	turf
deis	opte
deje	zafa
domo	sebe
doto	seje
edad	pomo
ente	oxeo
esta	mabí
faya	tono
fofo	lulú
gozo	rala
guau	maga
Hebe	romo
hedí	spot
hobo	sana
hoco	saña
hogo	Sara
hozo	sala
idas	tome
ideo	topa
Isis	papa
jalo	neos
jama	nepe
jebe	tomo
Joel	yeta
maja	pene
mear	unja
mimo	olor
ñoño	tutu
óleo	sois
palo	teos
papa	tete
pelo	tíos
peña	tire
raza	vede
reja	vine
reza	vide

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902 - Jugando con las palabras II

901 - Jugando con las palabras parte I

En la página futility closet suelen publicar  palabras, en inglés, que al desplazar cada una de sus letras un mismo número de lugares en el alfabeto se obtiene otra palabra que también está presente en el diccionario. 
Yo traté de buscar palabras en español con esta características y encontré muchas con cuatro letras y muy pocas con cinco o mas letras. En esta primer entrada pongo las tres que encontré con mas de cuatro letras, todas presentes en el diccionario de la real academia española :

ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
NÑOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLM
PQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNÑO
ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
NÑOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLM
PQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNÑO




ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
JKLMNÑOPQRSTUVWXYZABCDEFGHI
XYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVW
YZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWX
NÑOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLM
WXYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUV
JKLMNÑOPQRSTUVWXYZABCDEFGHI


ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
XYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVW
LMNÑOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJK
XYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVW
CDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZAB
XYZABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVW

En este blog enseñan como buscar este tipo de palabras con un programa informático y dan un listado muy grande de palabras en inglés con estas características.

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901 - Jugando con las palabras parte I

900 - Cuadrados con los dígitos duplicados

  Si elevamos 72576, que tiene un 2, un 5, un 6 y dos 7, al cuadrado obtenemos 5267275776 el cual tiene exactamente dos 2, dos 5, dos 6 y cuatro 7 . Es decir que si en el número original el dígito d aparece v veces, en el cuadrado, d aparece 2v veces.

¿Cual es el siguiente número con esta propiedad?
¿Habrá algún primo que lo haga?

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900 - Cuadrados con los dígitos duplicados