807 - Extrañas coincidencias en Pi ?

El otro día comencé a factorear los números que va formando pi a medida que se van agregando decimales, así obtuve lo siguiente:


3 = 3
31 = 31
314= 2 x 157
3141 = 3² x 349
31415 = 5 x 61 x 103
314159 = 314159
3141592 = 2³ x 392699
..... etc


Analizando estas primeras factorizaciones vemos que a medida que aparecen algunos primos en los decimales de pi, estos a su vez aparecen como factor en las factorizaciones.


Pregunta cuya respuesta conozco:

• ¿Cuál es el próximo primo de dos cifras que al aparecer por primera vez en pi aparece a su vez como factor de dicho número?

Pregunta cuya respuesta desconozco:

• ¿ Habrá alguno mas, de dos o mas cifras, aparte de 31415926535897932384626433832795028841 y el formado por los primeros 16208 dígitos de pi?

Conjetura:

• ¿ Aparecerán todos los primos como factores de los números que se van formando  a medida que agregamos mas y mas decimales? Hasta el decimal 231 el primer primo que no aparece como factor es el 139. 

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807 - Extrañas coincidencias en Pi ?

806 - Paradoja probabilistica?

En el blog de Richard Wiseman publicaron esta pregunta:


Si usted elige la respuesta a esta pregunta al azar, ¿Cuál es su probabilidad de acertar?


a) 25%
b) 50%
c) 60 %
d) 25%

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806 - Paradoja probabilistica?

805 - Un agujero a través de un agujero en un agujero

Visto en http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/pc/holehole.jpg

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805 - Un agujero a través de un agujero en un agujero

804 - Sumando números

Para las vacaciones de invierno la maestra dio como deber sumar los números del uno al mil e ir escribiendo los resultados parciales. Marcela hizo muy bien los deberes, en tanto que Mónica entendió mal la tarea y en vez de sumar los números sumo los dígitos de dichos números, es decir que en vez de sumar 10 sumó 1+0, para 11 sumó 1+1, etc.
Así Marcela obtuvo los siguientes resultados 1, 3, 6, 10 , 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, etc.
En tanto que Mónica obtuvo estos resultados 1, 3, 6, 10 , 15, 21, 28, 36, 45, 46, 48, 51, 55, 60, 66, etc.
Cuando compararon resultados Marcela se dio cuenta que cuando ambas sumaron el término n° 80 el valor de ella era un múltiplo entero de lo que obtuvo Mónica, ya que su suma era 3240 y la de Mónica 648, y 3240/648 =5 


¿Para que otros términos la suma de Marcela será un múltiplo entero de los Mónica?  

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804 - Sumando números

803 - Factorizando 10^n+1

En la página del estudio kamada presentan las factorizaciones de los números del tipo 10ⁿ+1 para n igual 1 hasta n=50000.


El  primer número de este tipo que tiene como divisor a 2011 es:


10³³⁵+1 = 1000000000..._<336> = 11 · 2011 · 9091 · 248807851 · 7261216121_<10> · 909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091_<66> · 3027630197..._<243>


Cuando n = 67, se da esta curiosa factorización:


10⁶⁷+1 = 
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_<68> = 11 · 909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091_<66>

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803 - Factorizando 10^n+1

802 - Botella de Klein dentro de una botella de Klein dentro...

El texto de esta foto dice : Esta es una botella de vidrio Klein hecha por Alan Bennett en Bedford, Reino Unido, para el Museo de la Ciencia de Londres. Se compone de tres botellas de Klein, una dentro de la otra. Una botella de Klein es una superficie que no tiene bordes, tampoco tiene "fuera" ni "dentro", y no puede ser construida en tres dimensiones. 

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802 - Botella de Klein dentro de una botella de Klein dentro...

801 - Suma pandigital prima

(4+5)³ + (6+8)² + (7+9)¹ = 941

¿Otros ejemplos?


Yo conozco otra expresión pandigital que da un primo de once dígitos.

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801 - Suma pandigital prima

800 - Primos en cuadrados descuartizados

Dentro de los números cuadrados de cuatro cifras encontramos algunos que pueden "descuartizarse" en primos:


2401 = 2 - 401
2601 = 2 - 601
2809 = 2 - 809
4761 = 47 - 61
5329 = 53 -29
5329 = 5 - 3 - 29 
5929 = 59 - 29 
7569 = 7 - 569


O sea que los primos escondidos en los cuadrados descuartizados de cuatro cifras son:
2, 3, 5, 7, 29, 47, 53, 59, 61, 401, 569, 601 y 809  


Notese que no tomo en cuenta los primos que empiezan con cero como los que aparecen en :
2025 = 2 - 02 - 5
3025 = 3 - 02 - 5
5041 = 5 - 041

a) ¿Cuáles son los primos que aparecen en los cuadrados descuartizados de cinco dígitos?
b) Encontrar tres cuadrados de  cinco dígitos que entre los tres tengan nueve primos diferentes 

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800 - Primos en cuadrados descuartizados

799 - El problema de los cuatro dígitos

Generalización del problema de los cuatro cuatros

El problema de los cuatro cuatros es un muy conocido y antiguo problema el cual consiste, en encontrar la forma matemática para representar cualquier número, usando para ello sólo cuatro cuatros, y a lo sumo, algunos símbolos para las operaciones básicas. Sobre este problema se ha escrito mucho  y se han obtenido todos los valores hasta el 40000 (ver The Definitive Four Fours Answer Key )
A partir de este problema se han generado muchas variantes en los cuales en vez de usar cuatro cuatros, se usan cuatro cincos, cinco cincos, seis seises, un uno, un dos, un tres y un cuatro, etc, etc.
Veamos como se pueden obtener los primeros cuatro números:

0 = 4+4-4-4
1 = (4+4)/(4+4)
2 = 4/4 + 4/4
3 = (4+4+4)/4

Cuando uno mira detenidamente estas fórmulas se da cuenta de que si reemplazamos cada uno de los cuatros por cualquier otro dígito, la fórmula seguiría siendo válida.
Por ejemplo :

0 = 1+1-1-1 = 2+2-2-2 = 3+3-3-3 = d+d-d-d
1 = 1+1 / 1+1 = 2+2 / 2+2 = 3+3 / 3+3 = d+d / d+d
2 = 1/1 + 1/1 = 2/2 +2/2 = 3/3 +3/3 = d/d +d/d
3 = (1+1+1)/1 = (2+2+2)/2 = (3+3+3)/3 = (d+d+d)/d
donde d representa cualquier dígito.
En base a esto empecé a pensar si era posible lograr cualquier número usando cuatro dígitos iguales cualesquiera.
Pero lograr los siguientes números es mas complicado, es por ello que podemos usar algunos “trucos”.
El primero que podemos usar es el punto decimal.
Así con .d representamos a 0.d = d/10.
También podemos usar el símbolo para los números decimales periódicos así .d   = 0.dddddd…. = d/9
Con estos dos “trucos” y permitiendo la concatenación de los dígitos, donde dd = 10d+d y d.d = d+0.d , y usando además raíces cuadradas  podemos obtener los números del cero al 13 inclusive, y los números del 17 al 21, el 27 y el 30 entre otros.
Para los números que nos faltan hasta el 45 podemos usar el logaritmo en base raíz de d del número d (log√d d) que es igual a 2, y si agregamos raíces a la base podemos obtener todos los números del tipo 2n donde n es igual a la cantidad de raíces cuadradas, (4 = log√√d d, 8 = log√√√d d, etc).Hay que tener en cuenta que cuando usamos logaritmos d no puede ser 1.
Con estas operaciones llegamos hasta el 36. Si usamos el signo de % obtenemos el 100 de la siguiente manera: 100 = d/d%.
También podemos usar el símbolo para tomar la parte entera de un número que nos permite llegar al 45.

Resumiendo :
Con un dígito :
.d =  d/10
.d = d/ 9
d% = d/100
|d| = parte entera de d


Con dos dígitos :

½ = log(d) √ (d)
0 = d-d
1 = d/d
2 = log √d d
3 = √ (d/.d)
4 = log √√d d
5 = |√ log √√√√√d d|
6 = (√ (d/.d))!
7 = |√ log √√√√√√dd|
8 = log √√√d d
9 = d/.d
10 = d/.d
11 = |√ log √√√√√√√dd|
16 = log √√√√d d
24 = (log √√d d)!
26 = |√(√ (d/.d))!!|
32 = log √√√√√d d
64 = log √√√√√√dd
100 = d/d%
720 = (√ (d/.d))!!

Así con cuatro dígitos iguales podemos formar :

0 = d + d - d - d
1 = dd/dd
2 = d/d +d/d
3 = (d+d+d) / d
4= d/d + √(d / .d)
5 = √(d * d) / (.d + .d)
6 = d/.d - √ (d / .d)
7 = (d - .d  - .d) / .d   
8 = (d - .d - .d) / .d
9 = d/.d - d/d
10 = dd / d.d
11 = d/.d + d/d
12 = (dd + d) / d
13 = d/.d +  √(d/.d)
14 = d/.d + log √√d d
15 = log √√√√d d – d/d
16 = log √√√√d d  + d - d
17 = (d + d - .d) / .d
18 = d/.d + d/.d
19 = (d + d + .d) / .d
20 = d/.d + d/.d
21 = (d + d + .d) / .d
22 = log √√√√√d d  - d/.d
23 = log √√√√√d d - d/.d
24 = (d/d + √(d / .d)) !
25 = log √√√√d d + d/.d
26 = log √√√√d d + d/.d
27 = (d + d + d) / .d
28 = log √√√√√d d - log √√d d
29 = log √√√√√d d - √ (d/.d)
30 = (d + d + d) / .d
31 = log √√√√√d d- d/d
32 = log √√√√√d d + d - d
33 = dd / √(d * .d )
34 = log √√√√√d d+  log √d
35 = log √√√√√d dd + √ (d/.d)
36 = log √√√√√d d + log √√d
37 = log √√√√√d d + |√ log √√√√√d d|
38 = (√ (d/.d))! + log √√√√√d d
39 = log √√√√√d d + |√ log √√√√√√dd|
40 = log √√d d * d/.d = log √√√√d d + (log √√d d)!
41 = log √√√√√d d + d/.d
42 = d/.d + log √√√√√d d
43 = log √√√√√d d + |√ log √√√√√√√dd|
44 = log √√d d * |√ log √√√√√√√dd|
45 = (√ (d/.d))!! / log √√√√d d(d)
46 = ?
47 = ?
48 =(√ (d/.d))! * log √√√d d  (d)
49 = |√ log √√√√√√dd| * |√ log √√√√√√dd|
50 = d/d% / log √d d
51 = ?
52 = log √d d *  |√(√ (d/.d))!!|
53 = log √√√√√√dd - |√ log √√√√√√√dd|
54 =(√ (d/.d ))! * d/.d
55 = dd / (.d + .d)
56 = (log √√d d)! + log √√√√√d d
57 = log √√√√√√dd - |√ log √√√√√√dd|
58 = log √√√√√√dd - (√ (d/.d))!
59 = log √√√√√√dd - |√ log √√√√√d d|
60 = (√ (d/.d))! * d/.d
61 = log √√√√√√dd - √ (d/.d)
62 = log √√√√√√dd - log √dd
63 = log √√√√√√dd - d/d
64 = log √√√d d * log √√√d d
65 = log √√√√√√dd + d/d
66 = log √√√√√√dd + log √dd
67 = log √√√√√√dd + √ (d/.d)
68 = d/d% – log √√√√√d d
69 = log √√√√√√dd + |√ log √√√√√d d|
70 = log √√√√√√dd + (√ (d/.d))!
71 = log √√√√√√dd + |√ log √√√√√√dd|
72 = log √√√d d * d/.d
73 = log √√√√√√dd + d/.d
74 = log √√√√√√dd + d/.d
75 = log √√√√√√dd + |√ log √√√√√√√dd|
76 = d/d% - (log √√d d)!
77 = |√ log √√√√√√dd| * |√ log √√√√√√√dd|
78 = ?
79 = ?
80 = (d - .d) / (.d  - .d)
81 = (d * d) / (.d  * .d)  ó  d/.d  * d/.d
82 = ?
83 = ?
84 = d/d% - log √√√√d d
85 = ?
86 = d/d% - (log √√d d)!
87 = ?
88 = log √√√√√√dd + (log √√d d)!
89 = d/d% - |√ log √√√√√√√dd|
90 = d/.d   * d/.d
91 = d/d%  -  d/.d
92 = d/d% - log √√√d d
93 = d/d% - |√ log √√√√√√dd|
94 = d/d% - (√ (d/.d ))!
95 = d/d% - |√ log √√√√√d d|
96 = √ (d/. d )  * log √√√√√d d
97 = d/d% - √ (d/.d )
98 = (dd - .d ) / .d   
99 = dd / .d d  
100 = dd / .dd  ó  d/.d * d/.d

108 = (dd + d) / .d
109 = (dd - .d) / .d
110 = dd / √ (.d * .d)
111 = ddd / d
120 = (dd + d) / .d
180 = (d + d) / (.d - .d)
900 = d / (.d - .dd)
990 = dd / (. d - .d)
999 = ddd / .d
1110 =  ddd/.d


El primer número que no pude formar es el 46. Otros que faltan son : 47, 51, 78, 79, etc.


¿A alguien se le ocurre alguna fórmula para formar los números que faltan?
Espero contribuciones


Pd: Una forma para generar cualquier número pero que no sería válida es usar log n√d d = n


Bibliografía : 


Mathematical recreations and Essays de Rouse Ball
El hombre que calculaba de Malba Tahan



Esta entrada forma parte de la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión  en esta ocasión es La Aventura de la Ciencia

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799 - El problema de los cuatro dígitos