455 - Metiendo el 48

49 =  7²

4489 = 67²

444889 = 667²

44448889 = 6667²

Hoy me han llegado los 48....

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455 - Metiendo el 48

454 - Crucigrama de números

Simplemente completar el crucigrama según las definiciones

a	b	c	d	e		f	g
h
	i				j	k		l
m		n
o	p
q				r
s			t				u
	v				w
x	x
y						z

.

Definiciones
Horizontales

a. El mayor primo cuyo cuadrado no tiene digitos repetidos.
f.  Número que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos.
h. Su suma digital es igual a "a" vertical, y su producto digital a "y" horizontal.
i.  Cuadrado que se mantiene cuadrado al agregarsele un uno por delante.
n. Junto con q horizontal utilizan los diez digitos sin repetir ninguno.
o. Número pandigital (cifras 1-9) que es la concatenación de tres cuadrados.
q. Número en el que el del medio es mayor al promedio de sus vecinos.Además escrito en números romanos usa  letras todas distintas.
r.  Número que tiene una t en el centro de su nombre y es el número atómico del Nobelio.
s. El primer dígito de este número es el primer dígito de g vertical, el segundo es el segundo dígito de j vertical, el tercero es el quinto dígito de h horizontal, el cuarto es el cuarto de i horizontal, el quinto es el quinto dígito de a horizontal, el sexto es el cuarto de y horizontal, el séptimo es el segundo de g vertical, el octavo es el segundo de p vertical y el último es el último de c vertical.
v.  Primo cuyo inverso es el cuadrado de un número primo.
w. Número cuyo cuadrado tiene las dos últimas cifras igual que él y es del tipo abababcd.
y. Es un número Achilles. Número Achilles es aquel en el que cada factor primo aparece con un exponente mayor a uno..Su suma es igual a la suma de todos los digitos que aparecen en la cuarta fila de este crucigrama.
z. Número que tiene una "c" exactamente en el medio de su nombre. Tiene un número primo de letras.


Verticales

a. Primo con un número primo de letras.
b. Número que tanto el como su doble usan la misma cantidad de caracteres cuando se lo expresa en números romanos.
c. Número que se puede dividir en dos partes A y B tal que B^2-A^2=N
d. Número d que al pasarlo a base hexadecimal da un número que usa los mismos dígitos que   d.
e. Número primo cuya suma digital es 34 y su producto digital es 17640.
g. Múltiplo de 23 que es igual a la suma de dos cubos.
j.  Número cuyo cubo se puede separar en dos partes A y B tal que A es un anagrama de B.
k. Cuadrado que es un anagrama de un cubo.
l.  Cuadrado que se transforma en primo al agregarsele un 2 por delante.
m. Menor número que al deltrear su nombre tiene una letra r en la posición 32.
p. Primo que es un anagrama de un cuadrado.
t. Tiene la misma cantidad de letras que su inverso y además es el menor número compuesto que es igual a la suma de 7 números compuestos consecutivos 
u. Primo en el cual todos los digitos que lo componen son números cuadrados y distintos.
x. Palíndromo que es la suma de un cuadrado mas un cubo.

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454 - Crucigrama de números

453 - Potencias de 2

Existe al menos un cero en la expresión decimal de cada una de las potencias de 2 entre

2⁸⁷ y  2 ^30739014

2⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264.parece ser la última que no tiene 0.
La computadora que lo calculó paró en 30739014.

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453 - Potencias de 2

452 - Viajando en el 62

Esteban y Alejandra viajan todos los días en el colectivo 62.
Un día cuando suben al colectivo Esteban saca los boletos y nota que la suma de los digitos de los dos boletos da exactamente 62. Cuando se lo comenta a Alejandra, esta que sabe que cada boleto tiene 5 digitos, le pregunta a Esteban si los digitos de  alguno de los dos boletos suma 35.
En el momento que  Esteban le contesta, Alejandra le dice cuales son los dos números de los boletos.

¿Cuales son los números de los boletos?

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452 - Viajando en el 62

451 - Número especial

Tengo un número de cinco dígitos edcba en el que coincidentemente  

• a indica el resto de dividir el número por 2,
• b indica el resto de dividir el número por 3,
• c indica el resto de dividir el número por 4, 
• d indica el resto de dividir el número por 5 y 
• e indica el resto de dividir el número por 6 

¿Cuál es dicho  número?

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451 - Número especial

450 - Menor múltiplo sin nueves

¿Cuál es el menor multiplo de 99999 que no tiene nueves?

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450 - Menor múltiplo sin nueves

449 - Cuadrados alfamágicos en español

Introducción: 

Los cuadrados mágicos han fascinado a la gente durante muchísimos años y son bien conocidos por todos los aficionados a los juegos matemáticos. Son grillas de n x n en la que se colocan n²  números de forma tal que todas las columnas, filas y diagonales sumen lo mismo. A la suma se la llama constante mágica.

Los que no son tan conocidos son los cuadrados alfamágicos. Estos fueron ideados por Lee Sallows  de la Universidad de Nijmegen de Holanda en 1986. Un cuadrado alfamágico es un cuadrado mágico en el que si tomamos la cantidad de letras de los nombres de cada número de dicho cuadrado mágico y los colocamos en otro cuadrado generamos a su vez otro cuadrado mágico

Sallows, L. C. F. "Alphamagic squares." Abacus 4 (No. 1): 28-45, 1986.

Sallows, L. C. F. "Alphamagic squares, part II". Abacus 4 (No. 2): 20-29, 43, 1987

Por ejemplo en inglés :

5 (five)	22 (twenty-two)	18 (eighteen)
28 (twenty-eight)	15 (fifteen)	2 (two)
12 (twelve)	8 (eight)	25 (twenty-five)

Que genera el siguiente cuadrado mágico :

4	9	8
11	7	3
6	5	10

Existen muchísimos cuadrados alfamágicos en muchísimos idiomas y de varios ordenes. En español habían aparecido ya en la revista El Acertijo que actualmente se puede leer online gracias al gran trabajo de Markelo. En el siguiente link del El Acertijo 5 página 12 aparecen unas soluciones dadas por Roberto Pozzi para cuadrados alfamágicos de orden tres, cuatro y cinco en español.

La solución que aparece en la revista para el de orden tres es un cuadrado alfamágico en el que el segundo cuadrado si bien es mágico tiene números repetidos. Yo busqué cuadrados alfamágicos que no tuvieran números repetidos

Cuadrados alfamágicos con números consecutivos:

En muchos libros y revistas toman como válidos solo a los cuadrados mágicos que tienen números consecutivos, aquí están los que encontré en español (que si bien el primer cuadrado no tiene números consecutivos, si los tiene el segundo ):

A)

2281 Dos mil doscientos ochenta y uno	241 Doscientos cuarenta y uno	1321 Mil trescientos veintiuno
321 Trescientos veintiuno	1281 Doscientos ochenta y uno	2241 Dos mil doscientos cuarenta y uno
1241 Mil doscientos cuarenta y uno	2321 Dos mil trescientos veintiuno	281 Doscientos ochenta y uno

27	22	23
20	24	28
25	26	21

B)

2581 Dos mil quinientos ochenta y uno	241 Doscientos cuarenta y uno	1921 .Mil novecientos veintiuno
921 Novecientos veintiuno	1581 Mil quinientos ochenta y uno	2241 Dos mil doscientos cuarenta y uno
1241 Mil doscientos cuarenta y uno	2921 Dos mil novecientos veintiuno	581 Quinientos ochenta y uno

27	22	23
20	24	28
25	26	21

C)

2571 Dos mil quinientos setenta y uno	421 Cuatrocientos veintiuno	1721 Mil setecientos veintiuno
721 Setecientos veintiuno	1571 Mil quinientos setenta y uno	2421 Dos mil cuatrocientos veintiuno
1421 Mil cuatrocientos veintiuno	2721 Dos mil setecientos veintiuno	571 Quinientos setenta y uno

27	22	23
20	24	28
25	26	21

D)

2761 Dos mil setecientos sesenta y uno	581 Quinientos ochenta y uno	1941 Mil novecientos cuarenta y uno
941 Novecientos cuarenta y uno	1761 Mil setecientos sesenta y uno	2581 Dos mil quinientos ochenta y uno
1581 Mil quinientos ochenta y uno	2941 Dos mil novecientos cuarenta y uno	761 Setecientos sesenta y uno

28	21	26
23	25	27
24	29	22

E)

2641 Dos mil seiscientos cuarenta y uno	331 Trescientos treinta y uno	1951 Mil novecientos cincuenta y uno
951 Novecientos cincuenta y uno	1641 Mil seiscientos cuarenta y uno	2331 Dos mil trescientos treinta y uno
1331 Mil trescientos treinta y uno	2951 Dos mil novecientos cincuenta y uno	641 Seiscientos cuarenta y uno

29	22	27
24	26	28
25	30	23

Como todos los primeros cuadrados presentan la particularidad de que todos sus números terminan en uno, podemos generar a partir de estos otros cuadrados alfamágicos cambiando solamente el último dígito de cada uno de los números (Teniendo en cuenta que el largo de uno=dos, tres = seis = ocho, cinco = siete = nueve) Otra forma de generar mas cuadrados alfamágicos a partir de una solución es sumar a cada uno de los números múltiplos de por ejemplo un millón que suman la misma cantidad de letras a cada número. Al final doy unos ejemplos

Aquí van otros ejemplos de cuadrados alfamágicos que tanto el primer como el segundo cuadrado tienen números distintos en español:

A)

95 Noventa y cinco	156 Ciento cincuenta y seis	124 Ciento veinticuatro
154 Ciento cincuenta y cuatro	125 Ciento veinticinco	93 Noventa y seis
126 Ciento veintiséis	94 Noventa y cuatro	155 Ciento cincuenta y cinco

13	20	18
22	17	12
16	14	21

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

153 Ciento cincuenta y tres	91 Noventa y uno	125 Ciento veinticinco
95 Noventa y cinco	123 Ciento veintitrés	151 Ciento cincuenta y uno
121 Ciento veintiuno	155 Ciento cincuenta y cinco	93 Noventa y tres

20	11	17
13	16	19
15	21	12

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

255 Doscientos cincuenta y cinco	94 Noventa y cuatro	176 Ciento setenta y seis
96 Noventa y seis	175 Ciento setenta y cinco	254 Doscientos cincuenta y cuatro
174 Ciento setenta y cuatro	256 Doscientos cincuenta y seis	95 Noventa y cinco

25	14	18
12	19	26
20	24	13

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

255 Doscientos cincuenta y cinco	74 Setenta y cuatro	166 Ciento sesenta y seis
76 Setenta y seis	165 Ciento sesenta y cinco	254 Doscientos cincuenta y cuatro
164 Ciento sesenta y cuatro	256 Doscientos cincuenta y seis	75 Setenta y cinco

25	14	18
12	19	26
20	24	13

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

275 Doscientos setenta y cinco	54 Cincuenta y cuatro	166 Ciento sesenta y seis
56 Cincuenta y seis	165 Ciento sesenta y cinco	274 Doscientos setenta y cuatro
164 Ciento sesenta y cuatro	276 Doscientos setenta y seis	55 Cincuenta y cinco

23	16	18
14	19	24
20	22	15

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

295 Doscientos noventa y cinco	54 Cincuenta y cuatro	176 Ciento setenta y seis
56 Cincuenta y seis	175 Ciento setenta y cinco	294 Doscientos noventa y cuatro
174 Ciento setenta y cuatro	296 Doscientos noventa y seis	55 Cincuenta y cinco

 

 

23	16	18
14	19	24
20	22	15

Cuadrados alfamágicos múltiples:

Una idea interesante es buscar un cuadrado alfamágico en el que el segundo cuadrado genere al tomar la cantidad de letras de los nombres de sus números otro cuadrado mágico.

Por ahora lo único que pude obtener de este tipo son los siguientes ejemplos en los que el segundo cuadrado no tiene todas las cifras distintas

Primer cuadrado:

347 Trescientos cuarenta y siete	225 Doscientos veinticinco	289 Doscientos ochenta y nueve
229 Doscientos veintinueve	287 Doscientos ochenta y siete	345 Trescientos cuarenta y cinco
285 Doscientos ochenta y cinco	349 Trescientos cuarenta y nueve	227 Doscientos veintisiete

Segundo cuadrado

25 Veinticinco	21 Veintiuno	23 Veintitrés
21 Veintiuno	23 Veintitrés	25 Veinticinco
23 Veintitrés	25 Veinticinco	21 Veintiuno

Tercer cuadrado

11	9	10
9	10	11
10	11	9

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Primer Cuadrado

847 Ochocientos cuarenta y siete	225 Doscientos veinticinco	539 Quinientos treinta y nueve
229 Doscientos veintinueve	537 Quinientos treinta y siete	845 Ochocientos cuarenta y cinco
535 Quinientos treinta y cinco	849 Ochocientos cuarenta y nueve	227 Doscientos veintisiete

Segundo cuadrado

25 veinticinco	21 veintiuno	23 veintitrés
21 veintiuno	23 veintitrés	25 veinticinco
23 veintitrés	25 veinticinco	21 veintiuno

Tercer cuadrado

11	9	10
9	10	11
10	11	9

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Primer cuadrado

460 Cuatrocientos sesenta	234 Doscientos treinta y cuatro	392 Trescientos noventa y dos
294 Doscientos noventa y cuatro	362 Trescientos sesenta y dos	430 Cuatrocientos treinta
332 Trescientos treinta y dos	490 Cuatrocientos noventa	264 Doscientos sesenta y cuatro

Segundo cuadrado

20 veinte	24 veinticuatro	22 veintidós
24 veinticuatro	22 veintidós	20 veinte
22 veintidós	20 veinte	24 veinticuatro

Tercer cuadrado

6	12	9
12	9	6
9	6	12

Estos últimos ejemplos son de cuadrados alfamágicos en los cuales el segundo cuadro tiene números que tienen todos la misma cantidad de letras :

97 Noventa y siete	75 Setenta y cinco	89 Ochenta y nueve
79 Setenta y nueve	87 Ochenta y siete	95 Noventa y cinco
85 Ochenta y cinco	99 Noventa y nueve	77 Setenta y siete

13	13	13
13	13	13
13	13	13

y

87 Ochenta y siete	65 Sesenta y cinco	79 Setenta y nueve
69 Sesenta y nueve	77 Setenta y siete	85 Ochenta y cinco
75 Setenta y cinco	89 Ochenta y nueve	67 Sesenta y siete

13	13	13
13	13	13
13	13	13

y

97 Noventa y siete	35 Treinta y cinco	69 Sesenta y nueve
39 Treinta y nueve	67 Sesenta y siete	95 Noventa y cinco
65 Sesenta y cinco	99 Noventa y nueve	37 Treinta y siete

13	13	13
13	13	13
13	13	13

En los siguientes ejemplos vemos como a partir de un cuadrado alfamágico cuyo segundo cuadrado tiene todas cifras iguales podemos generar cientos de nuevos cuadrados sumándole a cada número un múltiplo de 1000 . :

735 Setecientos treinta y cinco	879 Ochocientos setenta y nueve	897 Ochocientos noventa y siete
999 Novecientos noventa y nueve	837 Ochocientos treinta y siete	675 Seiscientos setenta y cinco
777 Setecientos setenta y siete	795 Setecientos noventa y cinco	939 Novecientos treinta y nueve

24	24	24
24	24	24
24	24	24

Mas 1000 (Mil = largo 3 )

1735 Mil setecientos treinta y cinco	1879 Mil ochocientos setenta y nueve	1897 Mil ochocientos noventa y siete
1999 Mil novecientos noventa y nueve	1837 Mil ochocientos treinta y siete	1675 Mil seiscientos setenta y cinco
1777 Mil setecientos setenta y siete	1795 Mil setecientos noventa y cinco	1939 Mil novecientos treinta y nueve

27	27	27
27	27	27
27	27	27

Mas dos mil (largo 6 ) 

2735 Dos mil setecientos treinta y cinco	2879 Dos mil ochocientos setenta y nueve	2897 Dos mil ochocientos noventa y siete
2999 Dos mil novecientos noventa y nueve	2837 Dos mil ochocientos treinta y siete	2675 Dos mil seiscientos setenta y cinco
2777 Dos mil setecientos setenta y siete	2795 Dos mil setecientos noventa y cinco	2939 Dos mil novecientos treinta y nueve

30	30	30
30	30	30
30	30	30

Mas tres mil (largo = 7 )

3735 Tres mil setecientos treinta y cinco	3879 Tres mil ochocientos setenta y nueve	3897 Tres mil ochocientos noventa y siete
3999 Tres mil novecientos noventa y nueve	3837 Tres mil ochocientos treinta y siete	3675 Tres mil seiscientos setenta y cinco
3777 Tres mil setecientos setenta y siete	3795 Tres mil setecientos noventa y cinco	3939 Tres mil novecientos treinta y nueve

31	31	31
31	31	31
31	31	31

Y así sucesivamente.
Se aceptan nuevos cuadrados alfamagicos,,,

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449 - Cuadrados alfamágicos en español