103 - Copiones bizcos

1639344262295081967213114754098360655737704918032787 x 71 =
116393442622950819672131147540983606557377049180327877.

Los 14 alumnos de 5° grado tenían como tarea escribir cuadrados perfectos de cinco cifras.
Como en todos los colegios siempre hay alumnos "olvidadizos" que no hacen la tarea y se acuerdan de que había que hacerla cuando llegan al colegio. Hete aqui que siete de los 14 alumnos de este grado eran "olvidadizos" . Pero eran alumnos especiales, de los llamados dislexicos visuales, que son aquellos que cuando leen rápido desordenan el texto que estan leyendo, es por ello que cuando copiaron los números que habían escrito sus compañeros de banco los siete lo hicieron de forma incorrecta.
Cada uno copió un número distinto, pero no todos se equivocaron de la misma manera.
Así había dos que si el número era abcde copiaron bcdea
Otros dos en vez de abcde copiaron cdeab
Uno en vez de abcde copió deabc
El sexto en vez de abcde copió eabcd
Y el último directamente invirtió el número, en vez de abcde copió edcba

Sus compañeros que estaban enojados con ellos porque no habían hecho la tarea no les dijeron que se habían equivocado al copiar
La sorpresa fue cuando la maestra les corrigió la tarea y dijo que estaba muy contenta ya que todos habían hecho muy bien los deberes.

¿Cuáles eran los siete cuadrados originales y cuáles los que copiaron los olvidadizos?
Después de poner el problema Pablo me advirtió que hay varias soluciones cosa que es cierto : Hay varias soluciones. Mis disculpas.

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103 - Copiones bizcos

102 - Dados en vez de dados

59 x 25 = 5 x 295
2 x 7138 = 83 x 172
4 x 3149 = 94 x 134

_ Esta vez seremos más previsores _ me dijo Marcelo _ antes de irnos de vacaciones te encargo a vos que compres los dados para que podamos jugar al "craps".

Me fui a un negocio que vende toda clase de juegos y le pedí a la vendedora que me diera un par de dados.
_ ¿De que tipo ? _ me preguntó
_¿Cómo de que tipo? _ le pregunté
_ Sí, acá vendemos varios tipos de dados _ me dijo la vendedora _ Tenemos los clásicos, que tienen los números del 1 al 6 y tenemos otras variantes.
_ Pero yo los quiero para jugar a los dados, no para otra cosa _ le dije
_ Sí, sí, los que yo le ofrezco también sirven para jugar a los dados, no así para la generala , ya que no tienen los números del 1 al 6. Eso si, para que puedan jugar con las mismas probabilidades que dos dados comunes debe llevar un par. Los hay rojos, azules, verdes y amarillos. Cada par tiene un dado a y un dado b.
_ A ver si entiendo _ le dije_ usted me dice que tiene aparte de los dados clásicos otros cuatro tipos de pares de dados que no tienen la misma puntuación que los dados comunes pero que cada par tiene la misma probabilidad y frecuencia de salida de los números que dos dados clásicos?
_ Así es _ me dijo la vendedora _ y es más, el dado a y el b de cada color no son exactamente iguales. (pueden tener algunos números en común)

¿Alguien sabe que puntuación podría tener cada par de dados "no clásicos"?

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102 - Dados en vez de dados

101 - Números Harshad

8 x 273 = 3 x 728
9 x 182 = 2 x 819

Un número harshad en base decimal es aquel que es divisible por la suma de sus dígitos.
Estos números, también conocidos como números de Niven, fueron propuestos por Kaprekar, un matemático de la India. Harshad significa gran felicidad. Es obvio que todos los números de una cifra son números harshad.

Los primeros números Harshad de más de un dígito son :
10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.
En 1994 Helen Grundman demostró que en base10, no hay más de 20 números Harshad consecutivos.

¿Cuáles son los primeros cuatro números harshad consecutivos en base 10, de más de una cifra?
¿Cuáles son los primeros 17 números consecutivos de los cuales ninguno es un número Harshad?

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101 - Números Harshad

100 - Documentos cuadrados

7 x 124 = 4 x 217
7 x 244 = 4 x 427
7 x 364 = 4 x 637

Siguen los documentos.
Estos son todos cuadrados perfectos.
Todos pueden dividirse en dos números de tres cifras (A y B) de forma tal que tanto A como B son cuadrados.
Pero además B-A y el documento dividido por B nos da un cuadrado perfecto.
Resumiendo AB (el documento), A , B, B-A y AB/B son cuadrados.

¿Cuántos documentos como estos hay?

¿ Y cuáles son los documentos?
¡

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100 - Documentos cuadrados

99 - Semana con documentos 5

5 x 546 = 6 x 455
6 x 455 = 5 x 546

Para hoy tenemos tres documentos.
Los tres tienen ocho cifras y son cuadrados perfectos.
Y los tres presentan la particularidad de incluir exactamente en el centro....., la raíz cuadrada de ellos mismos.
(Son números del tipo xxabcdxx, donde: abcd al cuadrado = xxabcdxx donde las x no necesariamente deben ser números iguales o distintos entre ellos y/o con abcd)
Atención que hay documentos que empiezan con cero.....

¿Cuáles son los documentos de hoy?

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99 - Semana con documentos 5

98 - Semana con documentos 4

4 x 427 = 7 x 244
4 x 637 = 7 x 364
4 x 847 = 7 x 484

El documento de hoy tiene 6 digitos
Para obtenerlo debemos ver todas las permutaciones posibles de 123456 y ordenarlas de menor a mayor.
Una vez que las tenemos ordenadas, buscamos la permutación número 404

¿Cuál es el documento de hoy?

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98 - Semana con documentos 4

97 - Semana con documentos 3

2 x 819 = 9 x 182
3 x 728 = 8 x 273
4 x 217 = 7 x 124

El documento de hoy tiene 8 dígitos
Los últimos cuatro son iguales a los primeros cuatro pero están en orden invertido (abcddcba)
Los primeros cuatro son todos distintos a<>b<>c<>d
El número que forman los primeros cuatro es menor al que forman los últimos cuatro
La suma de la primera mitad, más la segunda mitad, dividido por diez nos da la primera mitad.

¿Cuál es el documento de hoy?

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97 - Semana con documentos 3

96 - Semana con documentos 2

279972 =(2+7+9+9+7+2) x 7777

El documento de hoy tiene ocho dígitos. No necesariamente todos diferentes (abcdefgh)

Sí son iguales abcd y efgh

Cada una de los números formados por estas dos mitades, por ejemplo abcd, es divisible por ab,ac, ad, ba, bc, bd, cd y dc.

¿Cuál es el documento de hoy?

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96 - Semana con documentos 2

95 - Semana con documentos

45
45² = 2025.................. 20 +25 =45
45³ = 91125 ............... 9+11+25 =45
45⁴ = 4100625. . 4+10+06+25 =45

Se acercan las elecciones y la gente se acuerda de los documentos de identidad.
Claro que es más fácil resolver acertijos que sacar los documentos, así que aquí va una serie de acertijos para poder sacarlo.

El documento de hoy tiene 8 cifras no necesariamente todas diferentes (abcdefgh)
Si dividimos el número por la mitad, la primera mitad es más chica que la segunda (abcd < efgh)
Cada una de estas mitades cumple que el producto de las dos últimas cifras es igual al número que forman las primeras dos cifras, y además el producto de las últimas cifras a las que previamente se les restó uno a cada una, da el reverso del número formado por las dos primeras dos cifras

Si abcd: c x d=ab y (c-1) x (d-1) = ba

¿Cuál es el documento de hoy?

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95 - Semana con documentos

94 - Extraña particularidad

15612 = - 1 + 5⁶ - 12

El número diez presenta una extraña particularidad es un semiprimo (producto de dos números primos) y además es la suma de los primos que están entre estos dos primos:

10 = 2 x 5 = 2 + 3 + 5

Lo mismo ocurre con el :

39 = 3 x 13 = 3+5+7+11+13

y el

155 = 5 x 31 = 5+7+11+13+17+19+23+29+31

Se conocen otros dos números con esta propiedad uno es el :

454539357304421 = 3536123 × 128541727 = 3536123 + 3536129 + 3536131 + ... + 128541719 + 128541727

¿ Cuál es el otro número que cumple con esta propiedad?

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94 - Extraña particularidad

93 - Años como suma de números consecutivos

15613 = 1 + 5⁶ - 13

En la Entrada 4 les pregunté como se podía obtener 2009 como la suma de 41 números consecutivos. Ampliando el concepto y tomando los años desde el 2000 al 2999, les pregunto :

¿ Cuál es el único año que no puede expresarse como la suma de números consecutivos?

¿Cuál es el año que puede expresarse como la suma de la mayor cantidad de números consecutivos?

¿Cuál puede expresarse con la mayor cantidad de sumas de números consecutivos ?

Seis años pueden expresarse solo como la suma de 64 números consecutivos, ¿Cuáles son?

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93 - Años como suma de números consecutivos

92 - La familia duplicado

15585 = 1 * (5⁵ - 8) * 5

La familia duplicado tiene dos pares de hijos mellizos.
Este año se da la casualidad que la suma del cuadrado de la edad de cualquiera de los cuatro hijos mas la edad de los restantes es también un número cuadrado.

¿Que edades tienen los hijos de los duplicado?

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92 - La familia duplicado

91 - Factorial como producto de tres factores

15552 = (1⁵ + 5)⁵ * 2

El factorial de un número es igual al producto de todos los números naturales desde el 1 hasta dicho número. Así por ejemplo 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 donde ! indica factorial.


Los factoriales podemos expresarlos como productos de tres factores, así :

6! = 720 =

8 x 9 x 10 (2)
6 x 10 x 12 (6)
6 x 8 x 15 (9)
6 x 6 x 20 (14)
2 x 12 x 30 (28)
etc.
Otro ejemplo:

8! = 40320 = 32 x 35 x 36 (4)

Donde el número entre paréntesis indica la diferencia entre el mayor y el menor de los factores.

El problema de hoy nos pide encontrar los tres factores de los factoriales del 10 al 15 (o quien se anime al número que quiera) con la menor diferencia posible entre el mayor y el menor de los factores.

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91 - Factorial como producto de tres factores

90 - Excursión con comilona

14641 = (1+4+6)^4*1

Tres profesoras de inglés, Susan, Patri y Jimena organizaron una excursión para sus 90 alumnos. Cuando terminó la excursión las tres hicieron una evaluación de lo ocurrido. Luego de eso empezaron a comentar como habían comido los chicos.
_ Yo vi tres chicos que comieron hot dog y pochoclo, y tomaron una coca_ dijo Susan
_ En cambio yo noté que 24 chicos habían comido hot dog _ dijo Patri
_ Si pero había 5 que tenían un hot dog y una coca _ dijo Jimena
_ Claro _ dijo Susan_ pero en total 33 de los chicos tomaron coca
_ Si _ comentó Patri _ 10 tenían una coca y pochoclo.
_ En cambio yo conté que 38 de los chicos tenían pochoclo _ agregó Jimena
_ Pero los que tenían Pochoclo y hot dog eran solo ocho _ concluyó Patri
_ Si, pero lo que me dio más pena eran los chicos que no comieron ni tomaron nada _ dijo Susan

¿Cuántos fueron los chicos que no comieron ni tomaron nada?

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90 - Excursión con comilona

89 - Oferta interesante

2² + 4² + 6² +.....+ 76² + 78² = 25 x 26 + 26 x 27 + ...... + 62 x 63+ 63 x 64

El otro día fue al shopping a comprar un regalo y me llevé la grata sorpresa de que si pagaba con la tarjeta del banco U-sur-eros obtenía un 30% de descuento. Una vez que elegí el regalo, fui a pagar con la tarjeta y me hicieron el 30% de descuento . Lo curioso fue que el monto que pagué, una vez redondeado los centavos, tenía los centavos y los pesos intercambiados, es decir pagué tantos pesos como centavos, y tantos centavos como pesos, tenía el precio original.
Es decir si por ejemplo el precio original del regalo era $ ab.cd , con el 30% (y redondeados los centavos) pagué $ cd.ab.

¿Cuánto pagué por el regalo?

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89 - Oferta interesante

88 - Los números felices

2² + 4² + 6² + 8² + 10² = 4 x 5 + 5 x 6 + 6 x 7 + 7 x 8 + 8 x 9

¿Cómo obtener un número feliz?

1. Se toma cualquier número entero positivo.
2. Se suma los cuadrados de sus dígitos.
3. Si da uno tenemos un número feliz, si no se repite el paso dos.

Después de varias repeticiones podemos tener dos tipos de resultados :
a) Llegamos a uno, por lo tanto el número original y todos los intermedios son números felices
b) Se repite uno de números, esto implica que se entra en un ciclo y ninguno de los números obtenidos es un número feliz

Ejemplos :

19 :
1² + 9² = 82
8² + 2² = 68
6² + 8² = 100
1² + 0² + 0² = 1

Como obtuvimos 1, tanto 19, 82 , 68 y 100 son números felices

4 :
4² = 16
1² + 6² = 37
3² + 7² = 58
5² + 8² = 89
8² + 9² = 145
1² + 4² + 5² =42
4² + 2² = 20
2² + 0² = 4

Se repite el 4, por lo tanto entramos en un ciclo y 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 y 20 no son números felices

Los primeros números felices (hasta el 200) son :
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192 y 193.

Los primos felices son aquellos números primos que además son felices :
7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, etc.

Obviamente que todos los números del tipo 10ⁿ + 3 y 10ⁿ + 9 con n>0 son números felices.
El primo palíndromo : 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247×10⁷⁵⁰⁰⁰ + 1 (descubierto por Paul Jobling) también es feliz ya que :
1² + 7² + 4² + 2² + 6² + 2² + 4² + 7² + 1² = 176 y 176 es un número feliz.

Aproximadamente el 15% de los números son números felices.
Se ha demostrado que existen series de números consecutivos de números felices de todos los largos posibles, así por ejemplo, el primer par de números felices consecutivos son el 31 y el 32.


La primer serie de 9 números felices consecutivos comienza en el número :

2699999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999799999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995

El cual tiene 215 dígitos

¿Cuáles son los primeros tres números consecutivos felices?

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88 - Los números felices

87 - Años de familiares

1¹ + 5¹ + 9¹ = 7¹ + 8¹
1² + 5² + 9² = 7² + 8²
1³ + 5³ + 9³ = 7³ + 8³

Fabián me dijo que tanto su abuelo como el abuelo de su abuelo nacieron en años que pueden expresarse como a^b - b^a donde a y b son números enteros.

¿En que años nacieron el abuelo y el abuelo del abuelo de Fabián?

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87 - Años de familiares

86 - Nico y la escalera

642³ - 641³ = (264 609 288 - 263 374 721) = 1 234 567

En la casa de Nico hay una escalera de 13 escalones. El sube de a uno o dos escalones según la ocasión, pero generalmente alterna, sin tener un patrón determinado. Es decir que hay veces que sube 9 escalones de a uno y los últimos de a dos, otras veces sube un escalón, después tres veces dos, y tres veces uno, etc. Es decir que para subirt res escalones puede hacerlo de tres maneras:

• Subiendo tres veces un escalon por vez
• Sube un escalon y después dos juntos
• Sube dos escalones y después el último

Ahora sabiendo que la escalera tiene 13 escalones :

¿De cuántas formas distintas puede subir Nico la escalera?
¿Si cada día sube de una forma distinta, puede hacerlas en menos de un año?

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86 - Nico y la escalera

85 - Acomodando múltiplos

13825 = 1 + (3 * 8)^-2+5

Se le pidió a un grupo de alumnos que ordenaran 9 números diferentes del 1 al 10 de forma tal que tomando dos dígitos vecinos uno sea múltiplo del otro

Esto es lo que lograron :4 8 1 5 10 2 6 3 9

La maestra al ver que pudieron resolver el problema les pidió que esta vez tomaran 17 números diferentes del 1 al 20 y formaran otra cadena similar, como los alumnos lo pudieron resolver, les pidió que lo hicieran con 26 números de los primeros 30 y nuevamente lo resolvieron, entonces por último les pidió que lo hicieran con 41 números de los primeros 50.
Este último no pudieron resolverlo.
Podría alguien decir cuáles son las cadenas formadas con 17 números diferentes de los primeros 20, con 26 números diferentes de los primeros 30 y con 41 números diferentes de los primeros 50, de forma tal que si tomamos dos números adyacentes, uno sea múltiplo del otro ?

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85 - Acomodando múltiplos

84 - Números por delante y por detrás

12850 = (-1 + 2⁸) * 50

Es bien conocida la regla de divisibilidad por once, que dice que un número es múltiplo de 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. De ahí se deduce que si al once le colocamos el mismo dígito por delante y por detrás obtendremos siempre un múltiplo de 11. Es decir que: 1111, 2112, 3113, 4114, 5115, 6116, 7117, 8118 y 9119 son todos múltiplos de 11.
Es obvio que lo mismo pasa si hacemos lo mismo con el 1 , independientemente de cual sea la cifra colocada delante y detrás del 1 el número resultante será múltiplo de 1.
Hasta aquí nada extraño.
Lo extraño ocurre cuando les digo que existen por lo menos otros cinco números con los que ocurre lo mismo que con el 1 y el 11, es decir números que al colocarles el mismo dígito por delante y por detrás da un múltiplo de dicho número, y esto ocurre con los nueve dígitos.

¿Podría alguien encontrar cuáles son estos otros números, o encontrar algunos más?

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84 - Números por delante y por detrás

83 - Plata en Suiza

11664 = 1 * 1 * 6⁶ / 4

Le preguntaron a un ex-funcionario cuanta plata tenía en los bancos suizos y el respondió:

Vean estos números :

140400 = 400² - 140²
190476 = 476² - 190²
216513 = 513² - 216²
300625 = 625² - 300²

El monto que yo tengo en el extranjero, obviamente fruto de una herencia recibida por mi esposa, es un número de ocho cifras y si bien es un número que tiene la misma propiedad que los que les mostré, una de las mitades en que se divide es el doble que la otra. (si el número es abcdefgh y efgh² - abcd² = abcdefgh entonces efgh = 2 abcd)

¿Cuánta plata tiene este muchacho?

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83 - Plata en Suiza

82 - Primos encubiertos

¿Qué tiene de particular el primo 619737131179?

Este número tiene la particularidad de ser el primo más largo conocido tal que si se toman dos dígitos adyacentes consecutivos cualesquiera se obtienen números primos diferentes :
61, 19, 97, 73, 37, 71, 13, 31, 11, 17 y 79. (David Wells ,Curious and Interesting Number, p. 195)

Basada en esta idea se me ocurrió lo siguiente:
Buscar un número de 6 cifras del cual se puedan obtener la mayor cantidad de primos distintos, ya sea tomando una, dos, tres, cuatro, cinco ó seis cifras consecutivas.
Así si el número fuera abcdef podemos tomar : a, b, c, d, e, f, ab, bc, cd, de, ef, abc, bcd, cde, def, abcd, bcde, cdef, abcde, bcdef y abcdef. Es decir que el máximo de primos encubiertos que se pueden encontrar es de 21. Pero con la condición de que sean distintos el máximo es 18 ( ya que hay solo 3 de un dígito) .

Yo encontré tres números de seis cifras con 14 primos encubiertos cada uno.

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82 - Primos encubiertos

81 - Edades y estampillas

11264 = 11 * 2⁶⁺⁴

Cuatro hermanos, Vanesa, Débora, Fernando y Jackeline, empezaron a juntar estampillas.
Vanesa que era la más grande dijo:
- Si sumamos la cantidad de estampillas que tienen ustedes tres, obtenemos el cuadrado de mi edad.
- Si sumamos la cantidad de estampillas que tenemos Débora, Fernando y yo, nos da el cuadrado de la edad de de Jackeline.
- Si sumamos las estampillas de Débora más las de Jackeline, más las mías nos da el cuadrado de la edad de Fernando.
- Y por último si sumamos la cantidad de estampillas de Fernando, más las de Jackeline más las mías, obtenemos el cuadrado de la edad de Débora.

Sabiendo que ninguno tiene mas de 100 estampillas ni menos de 10, y que no hay hermanos mellizos,

¿Qué edades tienen los hermanos y cuántas estampillas tiene cada uno?

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81 - Edades y estampillas

80 - Formas de expresar un primo

6455 = (6⁴ - 5) * 5

Algunos primos pueden expresarse como la suma de dos cuadrados.

13 = 2² + 3²

Otros primos pueden expresarse como la suma de un cuadrado mas el doble de otro cuadrado

11 = 3² + 2 x 1²

Y por último hay otros primos que pueden expresarse como la suma de un cuadrado mas el triple de otro cuadrado

31 = 2² + 3 x 3²

Sin embargo hay algunos primos que pueden expresarse de las tres maneras.

Hay dos primos menores que 100 que pueden expresarse de las tres maneras,

¿Cuáles son?

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80 - Formas de expresar un primo

79 - Sumando nueves

4096 = (4 + 0 * 9)⁶

Llamemos S = 9 + 99 + 999 + 9999 +...... + 9999.....9999 teniendo este último término 99 nueves.

Determinar la suma de los dígitos de S

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79 - Sumando nueves