9 - Nueve hijos

9⁹ + 1⁹ + 2⁹ + 9⁹ + 8⁹ + 5⁹ + 1⁹ + 5⁹ + 3⁹ = 912985153

Un hombre tiene nueve hijos, cuyas edades están separadas por un mismo intervalo de tiempo.
Lo curioso es, que en este año la suma de los cuadrados de los años de cada uno de los hijos es igual al cuadrado de la edad del padre.

¿Sabría alguien decir la edad de cada uno de los hijos y la edad del padre?

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9 - Nueve hijos

8 - Anteponer un dìgito a un primo

Mirando los números primos vemos que el 2 es primo, pero que el 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82 y 92 no son primos.
De forma similar el 5 es primo pero no lo son el 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 y el 95

Ahora, ¿Cuál es el siguiente número primo que presenta esta particularidad?

(Es decir hay que encontrar el siguiente primo que al agregarsele cualquier dígito por delante da un número compuesto)

El número es el 149 , ya que 1149, 2149, 3149, 4149, 5149, 6149, 7149, 8149 y 9149 son todos compuestos

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8 - Anteponer un dìgito a un primo

7 - Congreso

A un congreso asisten 100 personas. 90 de los congresistas entienden el español, 90 el inglés, 90 el chino y 90 el francés.

¿ Cuál es el menor número de congresistas que seguro entiende los cuatro idiomas?

El menor número de congresistas que hablan los cuatro idiomas es 60. Este tipo de problemas se resuelve primero viendo cuantos son los que seguro hablan dos idiomas. Si noventa hablan español quiere decir que hay diez que no lo hablan, por lo tanto si hay 90 que hablan inglés es posible que de esos noventa diez sean los que no hablan español, por lo tanto el mínimo de personas que hablan esos dos idiomas es ochenta. Después se compara los que hablan español e inglés (ochenta) con los hablan chino. Nuevamente vemos que de cien personas ochenta hablan español e inglés o sea que hay veinte que no lo hablan por lo tanto esos veinte pueden ser justo los que si hablen chino así que nos quedan setenta (90-20) que seguro hablan tres idiomas. Si hacemos lo mismo con el cuarto idioma nos da la respuesta: 60

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7 - Congreso

6 - Tranformar a primo

¿ Cuál es el menor número que no puede transformarse en primo cambiando solo el último dígito?
Por ejemplo el 25 puede transformarse en primo si se cambia el 5 por un 3 ( de 25 a 23 que es primo).

¿Hay infinitos números de este tipo?

200
Si se cambia el último dígito da un número compuesto ya que 201,203,205,207 y 209 son compuestos al igual que todos los números pares.
Cualquier otro número menor se puede transformar en 2,11,23,31,41,53,61,71,83,97,101,113,127,131,149,151,163,173,181, o 191.(Todos primos)

Con respecto a la segunda parte, 200+2310n da toda una familia de estos números, ya que si cambiamos el último número por 1 o 7 dará un múltiplo de 3, si lo cambiamos por 3 dará un múltiplo de 7 y cambiándolo por 9 dará un múltiplo de 11. Esto es así porque 2310 es múltiplo de 2,3,5,7 y 11 y además 201 y 207 son múltiplos de 3, 203 es múltiplo de 7 y 209 es múltiplo de 11

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6 - Tranformar a primo

5 - Dos por cuatro

Dos problemas similares :

1) Encontrar un número de cuatro cifras distintas que al multiplicarse por cuatro da por resultado otro número de cuatro cifras y que es el inverso del primero :

ABCD
x4
-------
DCBA

2) Lo mismo que el anterior pero para un número de cinco cifras :

KLMNO
x4
---------
ONMLK

Los números son :
1) 2178 ya que 2178 x 4 = 8712
2) 21978 21978 x 4 = 87912

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5 - Dos por cuatro

4 - Sumar 10000

Este es un problema sencillo, hay que encontrar todas las series de números consecutivos cuya suma dé exactamente 10.000.

y además

¿Cómo sumar 2009 con 41 números consecutivos?

Podemos generalizar este problema de la siguiente manera :

Llamamos x: al primer número de la serie
I : al incremento, de forma tal que x+I es el último número de la serie
T : es el número que queremos que de la suma de la serie
Entonces lo que se nos pide son los x e I tal que :
(X + X+1 + X+2 + ... X+I-1 + X+I) = T
Si sumamos el primer y el último término nos da 2X+I, lo mismo sucede cuando sumamos
el segundo y el anteúltimo, el tercero y el antepenúltimo, etc de forma tal que hay (I+1)/2 pares 2x+I en la serie por lo tanto (2X+I)(I+1) = 2T.

Se puede ver que (2X+I) y (I+1) tienen paridades diferentes (Si I es par, 2X+I es par e I+1 es impar en tanto que si I es impar, 2X+ies impar y I+1 es par).
Sabemos que cada número tiene una sola factorización en números primos.
En nuestro caso 2T = 20000 = 2⁵ * 5⁴ Hay que buscar ahora la forma de factorizar 2T en dos números positivos de distinta paridad:

(32*1, 5⁴)= (32, 625) =(2X+I)(I+1) esto implica que==> I= 624 X = -296
(32*5, 5³)= (160, 125)==> I= 124 X = 18
(32*5², 5²)= (800, 25) ==> I= 24 X = 388
(32*5³, 5)= (4000, 5) ==> I= 4 X = 1998
(32*5⁴, 1)= (20000, 1) ==> I= 0 X = 10000
(5⁴, 32*1)= (625, 32) ==> I= 31 X = 297
(5³, 32*5)= (125, 160) ==> I= 159 X = -17
(5², 32*5²)= (25, 800) ==> I= 799 X = -387
(5, 32*5³)= (5, 4000) ==> I=3999 X = -1937
(1, 32*5⁴)= (1, 2000) ==> I=1999 X = -9999

Aquí tenemos las diez series de números consecutivos cuya suma da 10000.
Hay cinco que incluyen números negativos y cinco que no.
Ej X=1998 I=4 1998,1999,2000,2001,2002
1998+1999+2000+2001+2002 = 10000

Ej 2009 = 29+30+31+....+69 (41 números consecutivos)

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4 - Sumar 10000

3 - Clase de inglés

En el instituto "English for kids" en una de las clases de la teacher Susan, el promedio de edad de los varones es N, en tanto que el promedio de edad de las nenas es V.
Sabiendo que el promedio de edad de todos los integrantes de la clase incluyendo a Susan que tiene 42 años es N+V y que hay más nenas que varones, ¿Cuántos varones y cuantas nenas hay en la clase de Susan?

El total de los años de los varones es V*N, y el total de años de las nenas es N*V
En tanto que la suma total de los años de todos los que están en la clase es 2*V*N y hay V+N+1 personas.
Por lo tanto

(2*V*N + 42)/(V+N+1) = V+N

2*V*N + 42 = (V+N)^2 + (V+N)

42 = V^2 + N^2 + V + N.
Hay infinitas soluciones para esta ecuación en números reales, en tanto que para los números enteros la situación es diferente

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por 4 y sumamos 1+1 a ambos lados , nos queda:


170 = (2*V + 1)^2 + (2*N + 1)^2

Es fácil ver que 170 es igual a 11^2 (121) + 7^2(49) y como las nenas son más que los varones tenemos Nenas = cinco, Varones = tres.

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3 - Clase de inglés

2 - Dos números, tres cuentas, un resultado

Hay un problema muy conocido en el que se pide encontrar dos números cuya suma y multiplicación den el mismo resultado. Si bien este problema tiene miles de respuestas correctas, existe solo una en la que tanto los números como el resultado son números enteros positivos.
Para resolverlo se plantea las siguientes ecuaciones :

(1) x + y = R
(2) x.y = R

De (1) x=R-y reemplazando x en (2)

(R-y).y = R o sea que Ry-y.y = R de ahí que

y.y=R(y-1)

por lo tanto R = (y.y)/(y-1)

Se ve claramente que si y=1 no se puede obtener R, pero si y= 2, R= (2.2)/(2-1) = 4

y de (1) se saca que x = 2 Por lo tanto la respuesta es que los números son el dos y el dos, ya que

su suma y su multiplicación dan cuatro

Ahora va la variante un poco más complicada:

Hallar dos números cuya suma, multiplicación y división dan el mismo resultado.

Una pequeña pista : No necesariamente tienen que ser números enteros y/o positivos.

Los números son el 0.5 y el -1. Ya que tanto la suma, la multiplicación y la división dan -0.5.

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2 - Dos números, tres cuentas, un resultado

1- Primer número

¿Cuál es el primer número en español si ordenamos todos los números en orden alfabético ?

¿El catorce?

¿Y el último?

De los que se usan en la "vida real" es el veintiuno, pero si consideramos todos los números el último ¿es el veintiun trillones veintiuno?.

En inglés paradójicamente el primero sería eight (ocho) y el último el Zero (cero).

¿Y en otros idiomas?

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1- Primer número

0 - Acertijo

Definiciones de la Real Academia Española :

Acertijo : (De Acertar)
1. Enigma o adivinanza que se propone como pasatiempo.
2. Cosa o afirmación muy problemática.

Problema :
1. Cuestión que se trata de aclarar.
5. Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos.

Enigma:
1. Dicho o conjunto de palabras de sentido artificiosamente encubierto para que sea difícil entenderlo o interpretarlo.
2 Dicho o cosa que no se alcanza a comprender, o que difícilmente puede entenderse o interpretarse.

Recreativa :
1 adjetivo Que recrea o es capaz de causar recreación.

Matemática, Matemáticas :
1 Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones

Juego de ingenio :
Aquel en que por diversión o pasatiempo se trata de resolver una cuestión propuesta en términos sujetos a ciertas reglas; p. ej., las charadas, las quincenas, los logogrifos, los ovillejos y los acertijos de todo género

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0 - Acertijo