9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8888
9876 × 9 + 4 = 88888
98765 × 9 + 3 = 888888
987654 × 9 + 2 = 8888888
9876543 × 9 + 1 = 88888888
98765432 × 9 + 0 = 888888888
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8888
9876 × 9 + 4 = 88888
98765 × 9 + 3 = 888888
987654 × 9 + 2 = 8888888
9876543 × 9 + 1 = 88888888
98765432 × 9 + 0 = 888888888
¿Si elijo un número entre 10 y el 1000 al azar, cuál es la probabilidad de que dicho número sea divisible por ese mismo número sin su último dígito?
Por ejemplo: si elijo el número abc, que probabilidad hay de que sea divisible por ab
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Claudio, ¿te parece que hay posibilidad de que en algún momento expliques brevemente cómo se puede plantear un problema así? Sólo se me ocurre hacerlo por extensión (ver uno por uno los números que cumplen esa condición y luego... etc.).
ResponderEliminarPara resolverlo más brevemente se me ocurre lo siguiente:
Por decena, sumo:
10+5+4+3+2+2+2+2+2 = 32 las decenas
y luego serían 10 por centena = 9
+1 por 1000
Me da 42.
¿Es correcto? ¿Hay una manera más sencilla?
Como es una probabilidad tenes que contar primero la cantidad total (T) de números que se pueden elegir y después tenés que contar aquellos que cumplen la condición (C) (es decir los que si pueden dividirse).
ResponderEliminarLa probabilidad entonces es C/T
Para contar los que cumplen la condición hay un truco. Sobre todo para los mayores de 101.
Fijate cuantos y cuales números mayores a 101 cumplen...
Claro, fijate que a eso apuntaba con lo de hacerlo por "extensión". Considerar los que cumplen la condición y dividirlos por la cantidad total.
ResponderEliminarDe hecho, fue lo que hice. Me puede haber faltado hacer 42 / 990 para llevarlo a la probabilidad.
A partir de 100 me parece que hay 10 por cada centena, que es (abx10).
¿Llegué a un resultado equivocado?
La cantidad total es incorrecta por muy poquititito, en tanto que hay más de 42 números que cumplen.
ResponderEliminarPensá que solo los que terminan en cero son más de 42 y todos cumplen
(ab0 siempre es divisible por ab)
Es un problema de probabilidad en el cual se tiene una cantidad de casos posibles y una cantidad de casos favorables. Por lo que se deben contar las 2 cosas.
ResponderEliminarContar los casos posibles es simple ya q se tiene del 10 al 1000 y son 991 casos ya que 1000-10=990 y contando el 10 inclusive son 991 casos.
Para los casos favorables, es un poco mas dificil.
Razonando que despues del 100 solamente los q terminan en 0 como el 110, 230, etc son los q cumpliran la condicion, se llega a la conclusion que son 10 por cada centena. Contamos todos los numeros que terminan en cero del 100 al 990, son 90 casos. Le agrego el 1000 que es el caso 91.
Despues del 10 al 100 es relativamente facil:
Del 10 al 19 hay 10 casos favorables
Del 20 al 29 hay 5 casos favorables
Del 30 al 39 hay 4 casos favorables
Del 40 al 49 hay 3 casos favorables
A partir de aca por cada decena hay 2 casos favorables, como nos quedan 5 decenas cada una con 2 casos favorables tenemos 10 casos favorables mas.
Por lo tanto tenemos 32 casos mas.
Sumado a los anteriores nos da un total de 123 casos favorables.
Casos favorables/Casos posibles= 123/991
Lo que da un porcentaje del 12,41%
Gus
Excelente Gus!!
ResponderEliminarBien pensado y muy bien explicado!
Si elijo un número entre 10 y el 1000 al azar, cuál es la probabilidad de que dicho número sea divisible por ese mismo número sin su último dígito?
ResponderEliminarPor ejemplo: si elijo el número abc, que probabilidad hay de que sea divisible por ab
Cualquier número abc a lo más de tres dígitos puede escribirse : N= 100 a + 10 b + c con 0 ≤ a , b , c ≤ 9.
Si a=0 el número tendrá a lo más dos dígitos.
Los CASOS FAVORABLES cumplen la condición:
100 a + 10 b + c = ( 10 a + b ).K donde K es un entero positivo. -->
10a ( 10 – K ) + b ( 10 – K ) + c = 0 --> (10 a + b ).( K – 10)= c donde 0 ≤ c ≤ 9.
--> n.(K – 10)= c donde 0 ≤ c ≤ 9, K >10 y n = 10 a + b es cualquier número entero de dos dígitos desde 01 hasta 99.
K <10 es imposible porque c > 0.
Si K=10 --> c = 0 --> todos números de dos dígitos a los que se le agregue el cero en la posición de unidades cumplen la condición --> Son 99 +1 ( incluyendo el número tope 1000 de 4 dígitos) =
100 números favorables que terminan en 0.
Si K >10 --> n = 10 a + b ≤ 9 porque c ≤ 9 --> a = 0. Es decir, los favorables que faltan por identificar son de dos cifras y cumplen: n = (10 a + b ). ( K – 10) = (10.0 + b ). ( K – 10) = b . ( K – 10) = c donde 11 ≤ K ≤ 19, o lo que es igual: b.E = c donde E es un entero entre 1 y 9 , ambos incluidos. ( y para estos números favorables a=0 !!)
Si E=1 --> b . E = c --> b=c : 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 --> 9 favorables más
Si E=2 --> b . E = c --> 2b=c : 12, 24, 36, 48 --> 4 favorables más.
Si E=3 --> b . E = c --> 3b=c : 13, 26,39 --> 3 favorables más.
Si E=4 --> b . E = c --> 4b=c :
14, 28 --> 2 favorables más.
Si E=5 --> b . E = c --> 5b=c : 15 --> 1 favorable más.
Si E=6 --> b . E = c --> 6b=c : 16 --> 1 favorable más.
Si E=7 --> b . E = c --> 7b=c : 17 --> 1 favorable más.
Si E=8 --> b . E = c --> 8b=c : 18 --> 1 favorable más.
Si E=9 --> b . E = c --> 9b=c : 19 --> 1 favorable más
Son 123 los casos favorables.
CASOS POSIBLES:
Evidentemente son : 1000 -10 +1 = 991.
Consecuentemente la probabilidad es : 123/991 = 12,41%
Si elijo un número entre 10 y el 1000 al azar, cuál es la probabilidad de que dicho número sea divisible por ese mismo número sin su último dígito?
ResponderEliminarPor ejemplo: si elijo el número abc, que probabilidad hay de que sea divisible por ab
Cualquier número abc a lo más de tres dígitos puede escribirse : N= 100 a + 10 b + c con 0 ≤ a , b , c ≤ 9.
Si a=0 el número tendrá a lo más dos dígitos.
Los CASOS FAVORABLES cumplen la condición:
100 a + 10 b + c = ( 10 a + b ).K donde K es un entero positivo.
10 a ( 10 – K ) + b ( 10 – K ) + c = 0 (10 a + b )( K – 10) = c donde 0 ≤ c ≤ 9.
n. ( K – 10) = c donde 0 ≤ c ≤ 9 , K >10 y n = 10 a + b es cualquier número entero de dos dígitos desde 01 hasta 99.
K <10 es imposible porque c > 0.
Si K=10 c = 0 todos números de dos dígitos a los que se le agregue el cero en la posición de unidades cumplen la condición Son 99 +1 ( incluyendo el número tope 1000 de 4 dígitos) = 100 números favorables que terminan en 0.
Si K >10 n = 10 a + b ≤ 9 porque c ≤ 9 a = 0. Es decir, los favorables que faltan por identificar son de dos cifras y cumplen: n = (10 a + b ). ( K – 10) = (10.0 + b ). ( K – 10) = b . ( K – 10) = c donde 11 ≤ K ≤ 19, o lo que es igual: b . E = c donde E es un entero entre 1 y 9 , ambos incluidos. ( y para estos números favorables a=0 !!)
Si E=1 b . E = c b=c : 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 9 favorables más
Si E=2 b . E = c 2 b=c : 12, 24, 36, 48 4 favorables más
Si E=3 b . E = c 3 b=c : 13, 26,39 3 favorables más
Si E=4 b . E = c 4 b=c : 14, 28 2 favorables más
Si E=5 b . E = c 5 b=c : 15 1 favorable más
Si E=6 b . E = c 6 b=c : 16 1 favorable más
Si E=7 b . E = c 7 b=c : 17 1 favorable más
Si E=8 b . E = c 8 b=c : 18 1 favorable más
Si E=9 b . E = c 9 b=c : 19 1 favorable más
Son 123 los casos favorables.
CASOS POSIBLES: Evidentemente son : 1000 -10 +1 = 991.
Consecuentemente la probabilidad es : 123/991 = 12,41%