Hay un número n para el que se cumple lo siguiente : Si uno pone un cuatro al final de n y multiplica el número obtenido por cuatro, el resultado es igual al número que uno obtendría poniendo el cuatro delante del número n. En otras palabras lo que se busca es un número que se pueda poner en vez de los puntos suspensivos en esta ecuación:
4 × ...4 = 4...
La pregunta entonces es :
a) ¿ Qué número hay que poner en los puntos suspensivos para que la ecuación se cumpla?
Ahora, si en vez de cuatro , el número de la ecuación fuera 6,
b) ¿Cuál sería el número a poner en los puntos suspensivos? (6 × ...6 = 6... ) Este número es mucho más largo....
Hay dos formas de roslverlo:
1)Tenemos que : 4 × ...4 = 4... por lo tanto 4 × ...4 = 4...6 y me llevo 1 4 × ..64 = 4..56 y me llevo 2 4 × .564 = 4..256 y me llevo 2 4 × 2564 = 4.0256 y me llevo 1 4 × 02564 = 410256 entonces 4 x 102564 = 410256
2) Lamamos m al número buscado, A = m4 y B = 4m
Sabemos que A * 4 = B El número A = 10m+4 Si la cantidad de cifras de m son c
B= 4x10c+m = 4A =40m + 16 (1) 4x10c = 39m + 16
Si tomamos la ecuación modulo 13 nos queda 10c ≡ 4 (mod 13)
Buscamos entonces que potencia de 10 es congruente con cuatro módulo 13:
102564 es el menor numero que al pasar la última cifra al primer lugar (el 4) da un múltiplo de si mismo.
Haciendo el mismo procedimeinto con 6 × ...6 = 6... 6 × ...6 = 6...6 me llevo 3 6 × ..66 = 6..96 me llevo 3 etc nos da 101694915254237288135593220338983050847457627 1186440677966 x 6 6101694915254237288135593220338983050847457627 118644067796
Se puede comprobar usando la calculadora de http://home.earthlink.net/~usondermann/bincalc.html con internet explorer
Hay infinitas soluciones. La menor para el 4 es 102.564x4=410.256. Se obtiene al dividir 4 entre 39 hasta que dé de resto 4. Se pueden encontrar más repitiendo el módulo 102564:
102.564.102.564.102.564x4=410.256.410.256.410.256
Para la de 6 también hay infinitas soluciones, pero el módulo que se repite tiene 58 dígitos. Lo obtienes dividiendo 6 entre 59 hasta que te dé de resto 6. El módulo es:
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Hay infinitas soluciones. La menor para el 4 es 102.564x4=410.256. Se obtiene al dividir 4 entre 39 hasta que dé de resto 4. Se pueden encontrar más repitiendo el módulo 102564:
ResponderEliminar102.564.102.564.102.564x4=410.256.410.256.410.256
Para la de 6 también hay infinitas soluciones, pero el módulo que se repite tiene 58 dígitos. Lo obtienes dividiendo 6 entre 59 hasta que te dé de resto 6. El módulo es:
1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966