miércoles, 25 de septiembre de 2013

1225 - Calculando logaritmos

Los logaritmos son muy útiles para realizar cálculos con números grandes
Hoy en día con las calculadoras modernas e internet se puede hacer todo tipo de cálculos rapidamente y sin tener ningún tipo de conocimiento matemático, pero cuando no se disponen de estas herramientas  usar logaritmos para hacer cálculos aproximados es muy útil. Claro que para poder usarlos hay que tener una tabla de logaritmos o saber algunos logaritmos de memoria para poder hacer las cuentas.
Sin embargo es posible deducir muchos logaritmos decimales sin tener que memorizarlos.
Solo hay que saber unas cosas básicas que cualquier persona que haya terminado el colegio sabe.

En primer lugar un repaso sobre los logaritmos (log) y sus características principales:

- El logaritmo en base b de un número X es el número al cual hay que elevar a b para obtener X.
En esta entrada usaré solo logaritmos en base 10 o decimales por lo tanto se puede adaptar la definición anterior :
- El logaritmo decimal de un número X es el número al cual hay que elevar a 10 para obtener X.
Así por ejemplo el log de 10 es el número al que hay que elevar a 10 para que nos de 10 por lo tanto log 10 = 1 ya que 101 = 10.

- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores (y el de una division es la resta):
así el logaritmo de 35 = log (7x5) = log 7 + log 5

- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Ejemplo  log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2
Es muy fácil por lo tanto calcular los logaritmos de las potencias de diez, el valor del logaritmo es igual a la cantidad de ceros que tiene dicha potencia

Sabiendo estas cosas básicas y usando aproximaciones podemos deducir los valores de muchos logaritmos:

Logaritmo de 2
210 = 1024 ~ 1000 = 103
entonces 10 x log 2 = 3 x log 10
log 2 = 3/10 = 0.3 
Valor real = 0.30103


Logaritmo de 3
Para calcular el log de 3 sabiendo el de 2, hay que notar que 216 = 65536 y 38 = 6561
por lo tanto 216 ~ 10 x 38 aplicando logaritmos
16 log 2 = 1 + 8 log 3
log 3 = 16/8 log 2 - 1/8 = 2 log 2 - 0.125 = 0.477
log 3 = 0.477

Mas fácil para recordar:
34 = 81 ~ 80 = 10 x 23
4 log 3 = 3 log 2 + 1
log 3 = 3/4 log 2 + 1/4  = 0.476 ~ 0.477


Logaritmo de 4
4 = 2x2 
log 4 = log 2 + log 2 = 0.602
log 4 = 0.602

Logaritmo de 5
5 = 10/2
log 5 = log 10 - log 2 = 1 - 0.301 = 0.699
log 5 = 0.699

Logaritmo de 6
6 = 2 x 3  
log 6 = log 2 + log 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778
log 6 = 0.778

Logaritmo de 7
En este caso aprovechamos que 74 = 2401 ~ 2400 = 23 x 3 x 100  por lo tanto:
74 ~ 23 x 3 x 100
4 log 7 = 3 log 2 + log 3 + log 100
log 7 = (0.903 + 0.477 + 2)  / 4
log 7 = 0.845

Más fácil para recordar
72 ~ 50 = 5 x 10
2 log 7 = log 5 + log 10
log 7 = log 5/2 + 1/2 = 0.699/2 + 0.5 = 0.849 ~ 0.845

Logaritmo 8
8 = 23
log 8 = 3 log 2
log 8 = 0.903

Logaritmo de 9
9 = 3x3
log 9 = log 3 + log 3
log 9 = 0.954

Habiendo obtenido estos valores es fácil calcular los logaritmos de 1.5, 2.5, 3.5, 4.5
El de 5.5 se puede calcular haciendo el promedio entre el de 5.4 (6x9/10) y el de 5.6 (7x8/10), con el valor del log de 5.5 podemos deducir  el de 11 (5.5 x 2)  y con el de 11 el de 6.6 (6x11/10) lo que nos permite calcular el de 6.5 por promedio, y así obtener el de 13, de la misma forma podemos obtener el de 8.5 y con este el de 17

Esta entrada participa de la edición 4.123105 del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Cifras y Teclas


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