Obtengamos su raíz digital
Coloquemos este número adelante del original
Eliminemos el último dígito.
Repitamos el proceso hasta volver obtener el número original
Ejemplo para, 11 :
Raíz digital (o resto al dividir por 9) = 2
Colocamos el número al comienzo = 211
Eliminamos el último dígito = 21
Como no es 11 repetimos el proceso hasta obtener 11 :
Así obtenemos
11, 21, 32, 53, 85, 48, 34, 73, 17, 81, 98, 89, 88, 78, 67, 46, 14, 51, 65, 26, 82, 18, 91, 19, 11
Es decir que después de 24 repeticiones obtenemos el 11 de nuevo.
Preguntitas:
¿Hay algún número que no vuelve?
¿Hasta el 999999999 cual es el menor número al que hay que aplicarle mas repeticiones para que vuelva?
Si lo quieres compartir o guardar
Entradas
Interesante! Avence:
ResponderEliminar20, 30, 40, 50, 60, 90, 99, ... no vuelven.
11 tarda 24 pasos
111 tarda 39 pasos
1111 tarda 78 pasos
Hasta ahí llevo la búsqueda; pareciera ser que los campeones de pasos que si regresan son los repunits...muy curiosa propiedad de ellos!
Perdón 99 si vuelve en 1 paso
EliminarComo bien dice Carlos, hay muchos que no "vuelven".
ResponderEliminarEl que necesita más repeticiones es el 111.111, necesita 2184 repeticiones.
Como dato curioso de repunits, que indica Carlos, pongo los que he calculado y el nº de repeticiones que necesita:
1,1
11,24
111,39
1111,78
11111,312
111111,2184
1111111,1092
11111111,240
111111111,273
1111111111,1
Vicente iq.
De acuerdo con los datos de Vicente ahora el puzzle es encontrar una semilla que supere los 2184 pasos.
ResponderEliminarO dicho de un modo diferente, hay algún campeón que no sea repunit?
EliminarTodavía no entiendo exactamente la relación pero esta sequencia (1, 24, 39, 78, ...) está relacionada con los números de Fibonacci, según A210456 de OEIS.
ResponderEliminarLa secuencia A210456 se refiere a los periodos de las raíces digitales de los números de Fibonacci, Tribonacci, Tetranacci, etc. Términos que sucesivamente van siendo potencias de 2.
EliminarLa secuencia A030132 son las raíces digitales de los nºs de Fibonacci. Tienen un periodo de 24, que el el 2º término de la secuencia A210456.
La secuencia A222407 son las raíces digitales de los nºs de Tribonacci. Tienen un periodo de 39, que es el 3er término de la secuencia A210456.
Y así sucesivamente.
Vicente iq.
Casualmente las potencias de 2, que son de tipo que Carlos llama "O", tienen la misma longitud que los repunits. Parece que ahí está la relación.
EliminarPongo las longitudes de los períodos de las potencias de 2:
2^1,2,2
2^2,4,2
2^3,8,2
2^4,16,25
2^5,32,25
2^6,64,25
2^7,128,40
2^8,256,40
2^9,512,40
2^13,8291,779
2^14,16384,313
2^15,32768,313
2^16,65536,313
2^18,262144,2185
2^19,524288,2185
2^24,16777216,241 (se ha saltado el 1093 de los repunits).
2^25,33554432,241
2^27,134217728,274
2^28,268435456,274
Vicente iq.
En general los números con una determinada cantidad de dígitos tienen la misma cantidad de pasos, hay excepciones, números que no vuelven y otros con menos pasos que los repunit. No encontré ninguno que tuviera mas pasaos que el repunit correspondiente
ResponderEliminarYo diría de la serie de números que se generan recursivamente a partir de una "semilla" inicial, lo siguiente:
ResponderEliminar1) No se conoce ninguna serie que se prolongue indefinidamente
2) En todas las probadas, finalmente el último término o bien es igual al inicial (trayectoria tipo "O") o bien es igual a algún otro término intermedio de la serie (trayectoria tipo "P")
3) Todas las trayectorias "campeonas" son tipo "O" y corresponden a un Repunit.
¿Ustedes qué opinan de esta formulación?
Sobre el punto 2 diría que:
EliminarTodas las series contienen UN bucle repetitivo tras algunos pasos.
En las de tipo "O" el bucle contiene al nº inicial.
En las de tipo "P" el bucle no contiene al nº inicial.
Vicente iq.
Sobre el punto 3:
EliminarLas trayectorias campeonas no estoy seguro que sean las de tipo "O". Podemos decir que "Entre las trayectorias de tipo 'O', los repunits son los campeones".
Puede que entre las trayectorias de tipo "P" haya algún bucle aún mayor. No lo he comprobado.
Vicente iq.
Yo si lo he comprobado: no hay campeones en trayectorias tipo "P", descontando la cola de la "P", o sea lo que está fuera del ciclo.
EliminarEs obvio que no siempre los repunits son los campeones, basta con mirar el de 10 dígitos que vuelve en cero / un, pasos
ResponderEliminarCorrecto Claudio, parece que solo lo son hasta el 999.999.999.
EliminarVicente iq.
No todos lo repuntis son campeones; pero todos los campeones son repunits y son de tipo "O". Eso fue lo que dije en 3)
ResponderEliminarHe seguido buscando un poco más en los números y he visto que hasta el 999999999 del problema de Claudio hay nºs con mayor longitud que el 111111.
EliminarPor lo que el problema original sigue abierto.
Por ejemplo:
111120 tiene longitud uno más que 111111
111200 tiene longitud dos más que 111111
112000 tiene longitud tres más que 111111
Vicente iq.