1023 - Dados quien empieza

Imagínese que usted desea jugar un juego con 2-4 jugadores, y es necesario determinar aleatoriamente quién juega primero. Si cada uno de ustedes simplemente tirara un dado estándar, hay una buena probabilidad de que haya empates, ustedes tendrían que volver a tirar los dados y nadie quiere eso.
Estos dados diseñados por Eric Harshbarger resuelven este problema:

Son dados de doce caras cada uno, los cuales entre los cuatro, tienen escritos los números del 1 al 48 y fueron diseñados para que cumplan las siguientes condiciones:

a - Nunca habrá un empate
b - Independientemente de que grupo de dados sean tirados, todos los jugadores tienen la misma chance de obtener el número mas alto y por lo tanto de ser el ganador. Dicho de otro modo, dos, tres, o cuatro jugadores pueden tomar cada uno de los dados, tirarlos, y cada uno tendrá siempre una probabilidad de 1/2, 1/3 o 1/4, respectivamente, de obtener el resultado más alto.
c - Finalmente, no sólo pueden usarse todos los dados (o cualquier subconjunto) para determinar el primer jugador, sino que los números obtenidos también se pueden usar para determinar todas las posiciones de partida (el segundo número más alto puede ser el segundo jugador, el tercero más alto el tercer jugador, etc) ya que la probabilidad de cada una de las permutaciones de cualquier subconjunto determinado de dados es la misma, por lo que nunca habrá la posibilidad de que un subconjunto particular favoreciera a algunos de los jugadores.

Aquí están los números de cada uno de los dados:

D1: 1, 8, 11, 14, 19, 22, 27, 30, 35, 38, 41, 48
D2: 2, 7, 10, 15, 18, 23, 26, 31, 34, 39, 42, 47
D3: 3, 6, 12, 13, 17, 24, 25, 32, 36, 37, 43, 46
D4: 4, 5, 9, 16, 20, 21, 28, 29, 33, 40, 44, 45


Si arrojamos dos dados cualesquiera, por ejemplo el 1 y el 3 , tenemos 144 resultados posibles, y en la mitad ellos gana el dado 1 en tanto que en la otra mitad gana el 3.

Si arrojamos tres de los dados, por ejemplo el D1, D2 y el D3, tenemos 12³ = 1728 resultados posibles y el orden de los dados será  [D1,D2,D3] en 288 ocasiones, lo mismo para cualquiera de las otras cinco permutaciones [D1,D3,D2], [D2,D1,D3], [D2,D3,D1], [D3,D1,D2] y [D3,D2,D1

En tanto que al tirar los cuatro dados, hay 20736 resultados posibles, y cada dado ganará en  5184 ocasiones, y cada una de las 24 permutaciones [Da,Db,Dc,Dd] se da exactamente en 864 de las 20736.

Se puede ver todas las combinaciones y sus probabilidades aquí.


Esta entrada participa de la Edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Series Divergentes.

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