Juguemos un juego con monedas.
Tu tienes 100 monedas de diez centavos, y yo tengo 99 monedas de cinco centavos.
Al mismo tiempo, echamos nuestras monedas al aire y las dejamos caer en el suelo.
Luego contamos meticulosamente los resultados de nuestros lanzamientos.
Tu ganas si logras más caras que las que yo obtengo.
¿Cuál es tu probabilidad de ganar?
Un problema de Presh Talwalkar
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1/2.
ResponderEliminarLlamo C al número de caras que saco y D al tuyo. Gano si C>D y no gano si C<=D. La probabilidad de que se dé la combinación {C,D} es (C 100)*(D 99) = C!/100!/(100-C)! * D!/99!/(99-D)!. La probabilidad de que se dé la combinación {100-C,99-D} es la misma, (100-C 100)*(99-D 99) = C!/100!/(100-C)! * D!/99!/(99-D)! = (C 100)*(D 99).
Si gano con {C,D}, no gano con {100-C,99-D} y viceversa. Como a cada combinación con la que gano le corresponde otra con la que no gano que tiene la misma probabilidad, gano las mismas veces que no gano: 1/2.
Como las combinaciones de M elementos tomados de N en N son las mismas que las combinaciones de M elementos tomados de (M-N) en (M-N), las probabilidades de obtener C y D caras son las mismas que las de obtener (100-C) y (99-D) caras, y por tanto las de ganar son las mismas que las de no ganar, ya que si C>D, -C<-D, 100-C<100-D, 100-C<=100-D-1, 100-C<=99-D.
ResponderEliminarEn el comentario anterior hay algunas erratas, pues las combinaciones que dan C caras son (100 C) = 100!/C!/(100-C)! y la probabilidad de obtener C caras es (100 C)/2^100. Pero la conclusión sigue siendo válida.
Exacto Mmonchi, una forma simple de verlo es la siguiente, supongamos que tiramos 99 monedas cada uno, en ese caso, ambos tenemos la misma probabilidad de ganar.
EliminarAl tirar la moneda cien, hay un 50% de que salga cara y 50% de que no.
No lo veo claro. Después de tirar 99 monedas cada uno, podemos ir 50-40 y en ese caso la moneda 100 no influye en el resultado.
EliminarLo que si veo es que la probabilidad es el 50% siempre que yo tire una moneda más, sea el número de monedas que sea.
A ver si me explico mejor así:
EliminarSi lanzamos una moneda cada uno:
C, S -
C, C Ganas
S, C -
S, S Gano
La segunda moneda (o la cien en el problema) tiene 50% de probabilidad de ser C y 50% de ser S, por lo tanto no influye en el resultado
Los resultados son :(mia y tuya respectivamente, C= cara, S=seca):
- C, CC Ganas
- C, CS Ganas
- C, SC Ganas
- C, SS Gano
- S, CC Ganas
- S, CS Gano
- S, SC Gano
- S, SS Gano
Vemos que la probabilidades son del 50 %
Vale, ahora veo el razonamiento, aunque no sé si es exactamente el mismo. Lo voy a explicar a mi manera:
ResponderEliminarTiramos las 99 monedas cada uno y en G ocasiones gano yo, en G ocasiones ganas tú y en E ocasiones empatamos. Me da igual cuánto valen G o E, solo sé que ganamos las mismas veces cada uno, G. Ahora tiro la moneda 100 y puede salir C o S. Si ganaba antes y sale C, gano, si ganaba antes y sale S, gano, y si empataba y sale C, gano: gano en 2*G+E casos. En cambio, si perdía antes y sale C, pierdo (podría empatar, pero no me sirve para ganar), si perdía y sale S, pierdo, y si empataba y sale S, pierdo: pierdo en 2*G+E casos.
Como gano en 2*G+E casos y pierdo en 2*G+E, gano un 50% de las veces.