6×7 = 42
66×67 = 4422
666×667 = 444222
6666×6667 = 44442222
66×67 = 4422
666×667 = 444222
6666×6667 = 44442222
¿Cuál es la probabilidad de que un número pandigital sea múltiplo de 11?
Número Pandigital es aquél que tiene cada uno de los diez digitos una sola vez, por ejemplo 2.013.465.789
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Para comenzar, considero que el número puede comenzar con 0 para el cálculo.
ResponderEliminarLa cantidad de pandigitales distintos es 10!=3628800
Para que sea multiplo de 11, la suma de los digitos que ocupan posiciones pares menos las impares (o viceversa )debe ser multiplo de 11.Como todos suman 45, entonces la diferencia no puede ser 0, tampoco 22.Para que sea 11, unos deben sumar 28, los otros 17. Para que la diferencia sea 33, unos deben sumar 39 y los otros 6 lo cual es imposible; por lo tanto la unica manera es que los de posicion par sumen 28 y los impar 17 ( o viceversa)
Hay 9 combinaciones de 5 numeros que suman 28
13789;14689;15679;23689;24589;24679;25678;34579;34678
Cada uno de estos 9 puede ocupar las 5 posiciones impares de 5!=120 maneras distintas, los 5 restantes obviamente pueden ocupar las otras 5 posiciones de otras 120 maneras distintas, por lo que hay 120*120*2(porque ocupan posiciones pares o impares)28800 para cada una de las 9 o sea un total de 28800*9=259200 casos favorables.
P=259200/3628800=7.142857%
Pablo : Dos cosas
ResponderEliminar1)Los números no pueden empezar con cero, no sé si después sacas esos casos.
2)Pero cuando pones las combinaciones que suman 28 te olvidaste de algunas, revisalo.
Si me olvide los que incluyen el 0, porque lo saque de un Killer sudoku que te informa las combinaciones pero no tiene 0 obviamente....Que huevón..
ResponderEliminarFaltan 47890, 56890.
Entonces son 11 posibles.Las que ocupan las posiciones pares son 120, las que ocupan las posiciones impares son 120 cuando no tienen 0 y 96 cuando si lo tienen.
Entonces para cada quinteto son 120*120+96*120=216*120= 25920
Como son 11 quintetos= 25920*11= 285120
P= 285120/3628800= 7.8571%
Espero esta vez haber calculado bien
Me equivoque en mi comentario anterior, porque desconté los que empiezan con 0 de los casos favorables pero no de los casos posibles.
ResponderEliminarLos casos posibles son 10!-9!=9!*9=3265920
Los favorables 216*120*11= 285120
P=285120/3265920= 8.73% aproximadamente
Ahora, si :
ResponderEliminar(11 · 2 · (5!)^2 ·9/10 )/9 · 9! = 11/126 = 8.73%
PROBLEMA :
ResponderEliminarCuál es la probabilidad de que un número pandigital sea múltiplo de 11?
Número Pandigital es aquél que tiene cada uno de los diez digitos una sola vez, por ejemplo 2.013.465.789
SOLUCIÓN:
Cada número pandigital tiene 10 cifras diferentes: 0,1,2,3,…9 las cuales suman 45. Si un número es múltiplo de 11 la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan posiciones pares y la suma de las que ocupan posiciones impares es 0 o un múltiplo de 11. Esta diferencia no puede ser 0 porque en este caso cada suma debe ser 45/2 = 22,5 lo cual es imposible porque la suma de cifras es un entero. Si la diferencia es 11, entonces la suma menor es : (45-11)/2=17 y la otra : 17 +11 = 28. Entonces las sumas sólo pueden ser 28 y 17, cuya diferencia es 11 y suman 45. La diferencia puede ser 22 ? En este caso, la suma menor es: (45-22)/2=11,5 lo cual es imposible porque la suma de cifras es un entero . La diferencia puede ser 33 ? En este caso, la suma menor es: (45-33)/2=6 lo cual es imposible porque la menor suma de 5 cifras es : 0+1+2+3+4 = 10 >6. La única posibilidad es que las sumas de dígitos de posiciones pares y la de impares sean 17 y 28, o visceversa.
CASOS FAVORABLES: Construyamos con 5 dígitos la suma 17, que siendo impar, sólo puede ser obtenida sumando PPPPI ( 4 pares y un impar), PPIII ( dos pares y tres impares) y IIIII ( cinco impares )
PPPPI : 02465 , 02483 , 02681
PPIII : 02159 , 02357 , 04139 , 04157 , 06137 , 08135 , 24137 , 26135
IIIII : Ninguno. Las cifras del menor posible : 13579 suman 25.
Se dan 11 opciones para la suma con valor 17 : 9 de ellas contienen 0 y sólo 2 no lo contienen. Es obvio que establecida una de estas opciones se deduce la complementaria con los dígitos no incluidos que sumarán 28.
1 . Pandigitales usando las 9 opciones con cero en posiciones pares:
Las opciones con cero se podrán permutar en las posiciones pares sin riesgo que comience con 0. La complementaria al no incluir 0 podrá permutarse en las posiciones impares sin problema
Son 9 ( opciones )x 5! (permutaciones opciones con cero )X 5! ( permutaciones opción complementaria )
= 9x( 5!x5!)
2. Pandigitales usando las 2 opciones sin cero en posiciones pares:
Las opciones sin cero se podrán permutar en las posiciones pares sin problema. La complementaria ,al incluir 0 deberá permutarse en las posiciones impares teniendo presente que el número pandigital no comience por 0.
Son 2 ( opciones )x 5! (permutaciones opciones sin cero )X 4 ( dígitos para la primera posición en la que no se considera el 0 ) x 4 (dígitos para la tercera posición donde se considera el cero pero se excluye el dígito que se colocó en la primera posición )x3 ( quinta posición )x 2 ( séptima posición) x 1 ( el dígito que queda para la última posición impar: novena )= 2X5!X4X4X3X2X1 = 2X(96x5!)
Ahora se procede al contrario: usando las 2 opciones sin cero en posiciones pares y las 9 opciones con cero en posiciones pares: Basta cambiar de lugares el 2 y el 9.
Número de CASOS FAVORABLES : 9x( 5!x5! ) + 2x( 96X5! ) + 2x(5!x5! ) + 9x(96X5!) =11x( 5!x5! ) + 11x( 96X5! ) =
11x5!x(5!+96) = 11x120x216 = 285.120
CASOS POSIBLES: 9( primer dígito no puede ser cero)x9( se incluye el cero pero se descarta el dígito de la primera posición)x8x7x6x5x4x3x2x1 = 9x9! = 9x362.880 = 3’265.920
O también : 10! (total permutaciones entre las cuales el 0 aparece en la primera posición) -9! ( permutaciones con cero en la primera posición: donde se coloca el 0 en la primera posición y se permutan los demás dígitos en las otras posiciones )= 9! X( 10 - 1 ) = 9!x9 = 3’265.920 como anteriormente.
PROBABILIDAD: P = 285.120/3’265.920= 8,73%
HPrado - Javeriana Cali