miércoles, 13 de noviembre de 2013

1254 -100 pasajeros en un avión

Este problema que ví en varios blogs de habla inglesa dice así:

El primer pasajero que sube al avión, decide sentarse en cualquier lugar al azar.
Los siguientes 99 pasajeros, a medida que van subiendo, van a su lugar, si este está vacío se sienta allí, sino elige cualquier asiento al azar.
Este procedimiento sigue hasta que sube el último pasajero.

La pregunta es  ¿Que probabilidad hay de que el último pasajero se siente en su lugar? 
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9 comentarios:

  1. Me parece que es 1/100.
    Analizando menos asientos llego a esa conclusión.
    Con 2 asientos, la probabilidad es de 1/2 evidentemente.
    Con 3 asientos, es de 1/3.
    ....
    La probabilidad no cambia si se plantea lo siguiente:
    Si el avión tiene 100 plazas numeradas y se asigna una plaza a cada pasajero, la probabilidad de que a un pasajero le toque el lugar "n" sigue siendo 1/100.

    Vicente iq.

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    Respuestas
    1. No, no , Vicente tu razonamiento está equivocado.

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  2. Sorprendentemente es 1/2, pero no encuentro una manera fácil de probarlo. El último pasajero solo puede sentarse en su asiento o en el del primero, por ahí va la cosa, pero me falta terminar de verlo. Lo consultaré con la almohada.

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  3. El último asiento que queda libre corresponde al primer pasajero o al último. Por simetría, ya que el primero no manifestó preferencia alguna, la probabilidad de cada opción es del 50%.

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  4. Interesante resultado.

    Vicente iq.

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  5. 1) El primer pasajero (A) elige un asiento al azar, que puede ser el correspondiente al último (Z) o cualquier otro (B).

    1.a) Si es el correspondiente a Z, todos los demás pasajeros se sientan en su asiento excepto Z, que se sienta en el de A.

    1.b) Si es el de B, los demás van sentándose en su asiento hasta que llega B.

    2) Ahora el problema vuelve a ser el inicial, con B eligiendo un asiento al azar entre los que quedan.

    2.a) Si B elige el de A, todos los demás se sientan en su asiento y Z ocupa el de Z.

    2.b) Si B elige el de Z, todos los demás se sientan en su asiento y Z ocupa el de A.

    2.c) Si elige cualquier otro (C), volvemos a empezar en 2).

    3) Si solo quedan dos pasajeros, como nadie ha ocupado el asiento de A ni el de Z, Z se sienta en el de A o en el de Z.

    Es decir, el último pasajero se sienta siempre en su asiento o en el del primero. Parece evidente que por simetría las dos probabilidades son iguales, pero me falta demostrarlo.

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  6. En el caso 1): Si A elige el asiento de A, Z se sienta en el de Z; Si A elige el de Z, Z se sienta en el de A. Ambos sucesos tienen la misma probabilidad (en este caso, 1/100).

    En el caso 2): Si B elige el asiento de A, Z se sienta en el de Z; Si B elige el de Z, Z se sienta en el de A. Ambos sucesos tienen la misma probabilidad.

    En el caso 3): Si Y (penúltimo pasajero) elige el asiento de A, Z se sienta en el de Z; Si Y elige el de Z, Z se sienta en el de A. Ambos sucesos tienen la misma probabilidad.

    Es decir, como en cada paso la probabilidad de que Z termine en el asiento de A o el de Z es la misma, la probabilidad total de que acabe en A es igual a la de que acabe en Z. Y como no puede acabar en otro asiento, ambas valen 1/2.

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  7. Si es 1/100
    La probabilidad de que el primero se siente en el asiento del ultimo es 1/100
    La probabilidad de que el segundo se siente en el asiento del ultimo dado que su asiento estaba ocupado es (1/100)*(1/99)
    Si las sumamos todas (1/100) + [(1/100)*(1/99)] + {[(1/100)*(1/99)]*(1/98) + .... el resultado es 99/100 de que este ocupado, es decir 1/100 de que este libre.

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  8. He copiado el problema en mi blog y he puesto la solución por inducción. Puedes verla en:
    http://ulpianoellapidario.blogspot.com.es/2013/11/el-ultimo-pasajero.html

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