842 - El 2012 y los polidivisibles

Ya se acerca el año 2012 y con él ya vendrán en los distintos blogs sobre matemáticas las características, propiedades y curiosidades del mismo.
Una de las propiedades del 2012 es que es un número polidivisible.


En matemáticas se define como número polidivisible a un número natural con las siguientes propiedades:
Sea el número abcde..., definido por sus dígitos, se dice que abcde... es polidivisible si:

• Su primer dígito a no es 0.
• El número formado por sus dos primeros dígitos ab es múltiplo de 2.
• El número formado por sus tres primeros dígitos abc es múltiplo de 3.
• El número formado por sus cuatros primeros dígitos abcd es múltiplo de 4.
• etcétera.

Efectivamente para 2012 tenemos que 

2 es divisible por 1

20 es divisible por 2

201 es divisible por 3

2012 es divisible por 4

Los números polidivisibles, más pequeños en base 10, con 1, 2, 3, 4, ... dígitos respectivamente son: 

1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640.

Estos  números aparecen frecuentemente en problemas de las matemáticas recreativas. Un problema muy conocido es el que dice: 

Ordenar los dígitos del 1 al 9 de forma tal que el número formado por los dos primeros dígitos sea múltiplo de 2, el fomado por los tres primeros dígitos sea múltiplo de 3, etcétera; y finalmente el número completo sea múltiplo de 9.

La solución de este problema es un número polidivisible de nueve dígitos, con la condición adicional de que contiene todos los dígitos y estos no se repiten. Hay 2.492 números polidivisibles de nueve dígitos, pero solo uno que satisface la condición adicional: 381654729

Hay un total de 20.456 números polidivisibles, siendo el mayor 3608528850368400786036725 el cual tiene 25 dígitos

Dentro de los números polidivisbles tenemos :

• Polidivisibles capicúas : siendo el mayor 30000600003 (11 dígitos)
• Polidivisbles formados solo por dígitos pares, siendo el mayor  : 48000688208466084040 (20 dígitos)
• Primos cuasi polidivisible: son números primos, polidivisbles hasta el anteúltimo dígito, el mas largo es 123606009012225672009013 (24 dígitos)

Les dejo ahora dos preguntas para que se diviertan buscando la respuesta:

Dentro de los polidivisibles hay exactamente 100 que tienen a 2012 como cadena dentro, siendo el propio 2012 el menor de estos, ¿Cuál es el mayor polidivisible terminado en 2012?

Existen polidivisibles terminados en 2009 como 123606009012225672009, sin embargo no los hay terminados en 2010 ni en 2011. ¿Cuál es el próximo año posterior a 2012 el cual tiene un polidivisible terminado como él?

Fuentes wikipedia, primepuzzles puzzle 174

Esta entrada forma parte de la edición 2.9 del  carnaval de matemáticas, organizado en esta ocasión por Que no te aburran las mates

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