Hay muchos ejemplos.
Ejemplo (en el que no todos son primos) :
1, 13 , 34 : (12+132+642) / (1x13x34) = 1326 / 442 = 3
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martes, 1 de octubre de 2013
1229 - Tres primos que...
Encontrar tres números primos tal que la suma de sus cuadrados sea divisible por su producto.
Hay muchos ejemplos.
Ejemplo (en el que no todos son primos) :
1, 13 , 34 : (12+132+642) / (1x13x34) = 1326 / 442 = 3
Hay muchos ejemplos.
Ejemplo (en el que no todos son primos) :
1, 13 , 34 : (12+132+642) / (1x13x34) = 1326 / 442 = 3
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p1,p2,p3,Suma,Producto,Cociente
ResponderEliminar2 5 29 870 290 3
3 3 3 27 27 1
5 29 433 188355 62785 3
Dos soluciones adicionales:
ResponderEliminar2 5741 33461 1152597606 384199202 3
5 2897 43261 1879906755 626635585 3
Aunque pides números primos y sé que el 1 no lo es he sacado estos grupos de tres:
ResponderEliminar1, 2, 5
1, 5, 13
1, 13, 34
1, 34, 89
2, 5, 29
Observando que se trata de números de la sucesión de Fibonacci.
Notable lo que ha encontrado Rafael! De hecho he verificado que esto se extiende indefinidamente... Bravo!
EliminarLo que quiero decir es que 1,89,233; 1,233,610 ; 1,610,1597; 1,1597,4181; ... también son soluciones. Ahora falta probar por qué ocurren estas soluciones. Rafael debe poder probarlo.
EliminarEspecíficamente lo que hay que demostrar es la siguiente identidad:
Eliminar3 = (1+(F(2k))^2+(F(2k+2))^2)/(F(2k)*F(2k+2))
Según mis cálculos, la identidad sería (en tu notación):
Eliminar3 = (1 + (F(2k+1))^2+(F(2k+3))^2)/(F(2k+1)*F(2k+3))
para k>0
Esta identidad no la conocía.
Vicente iq.
Podemos expresar la fórmula de Carlos como:
Eliminar3=(1+F^2(n-1)+F^2(n+1)) / ( F(n-1)*F(n+1) )
Por la identidad de Cassini cuando "n" es par sabemos que:
F^2(n)-F(n-1)F(n+1)=1
de donde:
F(n-1)F(n+1)=F^2(n)+1
El producto de la izquierda es como el divisor de la fórmula de Carlos. De donde tenemos
1+F^2(n-1)+F^2(n+1)=3 (F^2(n)+1)
1+F^2(n-1)+F^2(n+1)=3 F^2(n)+3^
F^2(n-1)+F^2(n+1)=3 F^2(n)+2 , o de otra forma
F^2(n-1)+F^2(n+1) - 3 F^2(n) = 2
Datos 3 números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, la suma de los cuadrados de los extremos menos 3 veces el cuadrado del número central es igual a 2.
Vicente iq.
La identidad que yo planteé es simplemente la gerenalización obtenida por inspección de la solución empírica de Rafael. Pregunta para Vicente: ¿La identidad que obtienes a partir de mi fórmula es una identidad conocida?
EliminarNo lo sé Carlos. Yo tampoco la conocía. Creo que hay página dedicada exclusivamente a propiedades de los números Fibonacci. Pero no recuerdo cual era.
EliminarVicente iq.
Debería quitar el último trío.
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