miércoles, 19 de junio de 2013

1160 - El factorial de 500

El factorial de 500 tiene 1135 dígitos y es .

1220136825991110068701238785423046926253574342803192842192413588385845373153881997605496447502203281863013616477148203584163378722078177200480785205159329285477907571939330603772960859086270429174547882424912726344305670173270769461062802310452644218878789465754777149863494367781037644274033827365397471386477878495438489595537537990423241061271326984327745715546309977202781014561081188373709531016356324432987029563896628911658974769572087926928871281780070265174507768410719624390394322536422605234945850129918571501248706961568141625359056693423813008856249246891564126775654481886506593847951775360894005745238940335798476363944905313062323749066445048824665075946735862074637925184200459369692981022263971952597190945217823331756934581508552332820762820023402626907898342451712006207714640979456116127629145951237229913340169552363850942885592018727433795173014586357570828355780158735432768888680120399882384702151467605445407663535984174430480128938313896881639487469658817504506926365338175055478128640000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Si quieres ver mas factoriales lo puedes hacer en factorielle

Esto me hace pensar la siguiente pregunta, ¿Qué probabilidad hay de encontrar al número 2013 en  un número de mil cifras elegidas al azar?
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

14 comentarios:

  1. Puede ser 9001/90000?
    Matías Benzo.

    ResponderEliminar
  2. Por un lado me convenzo y por el otro no del siguiente razonamiento, a ver..
    En 1000 cifras seguidas podemos encontrar 997 números de 4 digitos. Cada uno de los 10000 números de 4 cifras tiene la misma probabilidad de ser cada uno de esos 997 números. Para cada uno de los 997 la probabilidad de que sea 2013 es 1/10000 y de que no sea es 9999/10000, por lo tanto para que ninguno de los 997 sea 2013 es
    0.9999^997= 0.9051
    entonces la probabilidad de que al menos haya un 2013 entre los 997 es
    1-0.9051= 0.0849 o sea un 8.49% aproximadamente

    ResponderEliminar
  3. Yo hice una simulación en Excel para verificar el resultado de Pablo, y obtuve "empíricamente" los siguientes resultados en 5 corridas sucesivas: 16%, 9%, 12%, 9% y 12%. Haré una experimentación más extensa pero ahora en Ubasic e informo más tarde.

    Debo decir que de antemano no encuentro falla en el razonamiento teórico de Pablo.

    ResponderEliminar
  4. ya calculamos con Claudio y vemos que sin contar las repeticiones que pudiera haber del 2013 variuas veces tendríamos como máximo que por Cada posicion en la que puede estar el 2013, quedan 996 posiciones para 10 digitos diferentes o sea 10^996 variantes, esto multiplicado por 997 posiciones da los casos favorables (sobreestimandolos, porque repito puede haber varias repeticiones del 2013 que deberían restarse), y el total posible es 10^1000 por lo tanto 997/10000 es el limite máximo o sea 9,97%, de ahi deben restarse los casos de duplicados, triplicados.... y el caso increible de 250 veces seguidas 2013!!!!!

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Yo entiendo que se trata de encontrar "al menos" un 2013. Por lo que para mí no hay que restar nada. Otra cosa es la probabilidad de encontrar "solamente" un 2013.

      vicente Iq.

      Eliminar
  5. Yo hice la corrida en excel y me da alrededor de 9.50%, claro que me gustaría saber si la fórmula de Pablo es la correcta.

    ResponderEliminar
  6. 0.0948956022743628811966171810180373943505334817285681569497630777899529700735989391896766236121822842728940575705266474438656738955180731287251206415909572244186314695355056025662993121600872273660361052123796699590516183794115250558547290192080526174857675457866575519062404232545953939039484013142049767236686668535278730329542535430617885584743458097386718462463052049375683882154323433650144823570439936043220283634219839565899319137342670637160879632885799585715448939486785643341593864190352701725316411863095398301387937720303845655110965774916840214240644520690790316613721993275769840807630763934951432623634466262461614585199989764162699781632291904418400762603478179215506557617201773933847753670222514721866355948454480538527335447795162058491654431705641558248703057586202670693079855463156177655260643063091591751482368409053431662791599708838997156897757874077681308537503224228911337647008140949514338811092387493492482772571394515076472604425806362213998601484102812633733356901524554960026961788125897450237288022489472738002190262821843588853301583039693318891415518139328870820264744805387981608238655827903251199433998541203163718525626018880346628552286047939778583009964704915883703245863585441482178432756515127882825932129655993295803193639818379177185107355804486595629518119585807020027403055735664266610305320539984675652564988458146798500603605264444749843465124523640924810562060347594336236217146413371999265155668967597016061390678227804606202110952650782549455295640024390097239593843659475867146635102391084050382068264161208224252027551668859631148889557933827227579313978360846367737200979642317287987171947629624446468069351715886275978521702004797130416711105780418435611310774092806998038870068531254598230176012665076184316950978671637041430275788286970973505350435795311515728852231870496082433472357054796538862112134161623197696330813172323503469243571981422685976382898688832298641088327818483963928899245452824355158818547550606232688313772392569573133463184519177777070292948386512349330830022732142793848108891572883167184110709466613055303418460074666350387038534107841643063757910492169678510667595586534668693493033914732679895348107456163739588865443067885837878500959289890416278934663213022662621206798441648481061948926002355528393454928419878552277025783943712130903641145726433115746199409775341547773927498891842998289494392039641665472313698816708461750908830909325452448369107505127447121350868990497658995093167565509754305881198930494982630147419318918005957555540506670860225280052142646291038165054549418733165532888102598266362798778932653044786585644970777618115217447285144902134639597674902028639425801958445948224767829869247847095233928393258679618137744039940991986632125219098761656923214097809530112631760896385225256398980299245358384864991105805509859269611170759109467915522551941789813417698390594453214672844046213552399657249668225202322757724907128564001278878029778663325951752606641578267603336663541713175146516973658428876848072598918824354097016853932561843970760653200952923550909432560876445295415658798317698567652075757158992296287601437362189466840133863149291270605959717151274993168924180989265243798775379868420812337912528703230065833228755476702148839008518887555025740994946185653956132043855075201800776745836704514426508523362983754151043912650020762511826157865462202093872933973378468732966993303456316430246562142836952665977137690436175500633093195877513863629292072347545384939016320591882330295119871933385290727675952671278942876616825923896118036594362979619035237127007189668100751118334281718789299020250119176739632525264920791384569238717343078911088140415770066062607555479088440004395055982926080801194254235052114290814004524919912891778169518005380850049253637760818517138864302148270048027215725229484901581717277451395139099820171855023794472958370113945449450232272955769114198213683921219968761310878745016042965953964267166675572922918829304448147423042975559650590030001

    ResponderEliminar
  7. Lo repensé y la solución anterior (f(n) = 1/100000 + 9999/10000 * f(n-1)) es incorrecta (da un denominador de 4000 digitos, cuando no puede tener mas de 1000, considera que si el numero no empieza con .

    Mi propuesta actual da 0.04939496434756895692995182992324097322455616426922713141171740520308779242525958491617895810862939157513632707752585875571569083634115651188934207800858182067283430332911693076448368367131780921253839753613443092228830700721946423313674855177507437191685603353496421171238087317273109577823006500111832745857815933847664924327997479555739935213877852142558579445535988069752919195234682282561253178493341725650917460417909939309464375567236172889741640053942387122454466769304603417129372812198720001

    El razonamiento es: para numeros de longitud n, la forma que pueden tomar es:

    f(4) = 1/10000 (2013)
    f(5) = 2/10000 (x2013; 2013x)
    f(6) = 3/10000 (xx2013, x2013x, 2013xx)
    f(7) = 4/10000 (xxx2013, xx2013x, x2013xx, 2013xxx)

    Para n>7, f(n) = 4/10000 + 9999/10000 * f(n-4) (2013..., x2013..., xx2013... xxx2013...., ____*, con ____ distinto de 2013 -9999 posibilidades- y * incluye 2013 -probabilidad f(n-4) )

    ResponderEliminar
  8. Simulación en Ubasic, después de 15,340 números de 1000 dígitos generados al azar, 9.5045%.

    ResponderEliminar
  9. Aparece una pregunta interesante, por lo menos para mí. ¿cuántos dígitos tengo que elegir al azar para estar seguro de que tengo el 2013?.
    pero esto es otro tema.
    (perdona Claudio por plantear este problema en voz alta en tu blog).

    vicente iq.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Tan interesante que sale como el problema de hoy

      Eliminar
  10. Partimos de que:
    - Tenemos 1000 dígitos elegidos al azar.
    - Cualquier grupo de 4 cifras tiene la misma probabilidad de salir.
    Voy a utilizar un dado de 10 caras para generar los dígitos aleatorios.
    Para simplificar comienzo lanzando el dado 4 veces:
    La probabilidad de que salga el 2013 es 1/10x1/10x1/10x1/10=0,01%.
    Esto es normal porque tenemos 1 caso favorable y 10.000 casos posibles.
    Ahora lo lanzo 5 veces:
    Solo nos valen las combinaciones 2013X(10 casos) y X2013(10 casos). O sea, tenemos 20 casos favorables de 100.000 posibles.
    Por lo que la probabilidad de encontrar el 2013 en 5 dígitos al azar es de 20/100.000, o sea un 0,02%.
    Ahora lo lanzo 6 veces:
    Solo nos valen las combinaciones 2013xx(100 casos), x2013x(100 casos) y xx2013(100 casos), tenemos 300 casos favorables de 1.000.000 posibles.
    La probabilidad es de 300/1.000.000, o de un 0,03%.
    Podemos deducir que la probabilidad con n dígitos sería:
    probabilidad = (n-3)x10^(n-4)/(10^n)
    Donde:
    n=nº de dígitos al azar (en este caso 1000)
    Sustituyendo en la fórmula obtenemos como probabilidad para n=1000 dígitos es 997/10000, o sea un 9,97%.

    Vicente Iq.

    ResponderEliminar
  11. A la altura del caso 15,580 de la simulación que seguí corriendo en Ubasic el porcentaje va en 9.467%, oscilando por supuesto.

    ResponderEliminar

Si quieres deja un comentario, si la entrada tiene mas de 15 dias deberás esperar a que la autorice y por favor si no tienes gmail deja tu nombre si no quedas como anónimo. Gracias!