La respuesta es si, y esto es posible porque "Todo número que no es múltiplo de dos o de cinco tiene un múltiplo formado por solo nueves".
Es decir que en la sucesión 9, 99, 999, 9999, 99999,... etcétera, encontraremos siempre un múltiplo de cualquier número impar no terminado en cinco
Como hallar dicho número compuesto solo por nueves para un determinado número N?
Existe un método "relativamente" rápido sin tener la necesidad de probar una a una las sucesivas divisiones 9/N, 99/N, 999/N, para determinar el múltiplo.
En primer lugar calculamos 1/N, esta división genera un número decimal.
Al no ser N ni múltiplo de 5, ni de 2, el decimal es periódico puro, es decir que existe un grupo de cifras que se repiten indefinidamente inmediatamente después de la coma decimal.
La longitud de dicho período es siempre menor a N, siendo como máximo igual a N-1, de ahí que haya puesto que el método es relativamente rápido.
Una vez obtenida la división solo hay que contar la cantidad de números que forman el periodo a partir de la coma.
El número formado por esa cantidad de nueves es el múltiplo buscado.
Porque?
Es sabido que los números decimales periódicos puros menores a uno se pueden expresar como P / 9...9 donde el numerador son los números que forman el período y el denominador está formado por la misma cantidad de nueves que largo tiene el período, entonces tenemos :
1 / N = P / 9...9
por lo tanto
9...9 = N x P
Veamos un ejemplo, queremos hallar que número formado solo por nueves es múltiplo de 17.
Calculamos 1/17 = 0.0588235294117647...
Como el período tiene 16 cifras, 9999999999999999 es el múltiplo de 17 buscado.
Ahora ya saben como encontrar el múltiplo de 2013 formado por solo nueves, el cual es un poco mas largo que el de 17.
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Geometría dinámica
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Al factorizar 2013 he visto que es 3*11*61.
ResponderEliminarComo en el caso del múltiplo de 17 tiene 16 nueves lo he encontrado con 60 nueves, que al factorizarlo he visto que es múltiplo de 3, 11 y 61, por lo tanto es múltiplo de 2013.