En el tablero, las casillas marcadas están pintadas de negro.
Se quiere pintar todas las otras casillas de azul, rojo, verde o negro, cada una de un color, de modo que en cada fila y en cada columna haya una casilla de cada color.
¿De cuantas maneras se puede hacer?
No solo hay que resolverlo, sino que explicarlo como para que lo entienda un niño de 10 años, ya que es un problema de las olimpiadas matematicas argentinas para niños y una amiga mia no sabe como explicarselo para que lo entienda
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Bueno... vemos que para hacer las de color negro nos faltan 2 pero no nos importa para nada en esta solucion
ResponderEliminarPara cada una de los otros 3 colores, tenemos tres filas en la primera columna.
Hay dos casos posibles:
(1col,1fil) y quedan 3 filas disponibles en la segunda columna.. luego 2 filas en la 3º columna.. y luego 1 sola posibilidad para la 4º columna.
Y los dos casos que se dan cuando el color entra en (1col,2fil) y (1col4fil) pues solo dan 2 posibilidades en el 2º y 2 posibilidades en el 3º.
En fin, para el 2º color, hay (1*3*2*1)+(2*2*2*1)=6+8=14
Para los ultimos 2 colores solo nos quedan 2 casillas libres en cada columna.
Entonces hay 2*1*1*1 para cada color
En conclusion, hay
(14*2*1)=28 formas de completar el tablero
Como la eleccion de los 3 colores restantes es arbitraria, hay en total (28*3*2*1)=168 formas de hacerlo
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A modo de comentario, yo participo en la OMA, y pienso que esto no es para un chico de 10 años.
es combinatoria, y es algo un poco avanzado teniendo en cuenta las caracteristicas del problema
Francisco, solo hay 48 soluciones, muchas de las 168 que dices no son válidas.
EliminarCierto. Acabo de revisar y lo que hacia era contar varias disposiciones dos veces. y superponer posibilidades
EliminarSupongamos el problema resuelto ^^
Sean a,b,c,d los colores.. una disposicion seria
a.b.c.d
b.c.d.a
c.d.a.b
d.a.b.c
Y notemos que si intercambiamos las filas o columnas (son casos iguales pues el tablero es simetrico) tenemos otra disposicion de un tablero valido
Hay en total 4! disposiciones :)
Lo mismo con los colores que dije antes, por tanto hay 4! coloraciones
Solo tenemos que contar las que tienen esos dos cuadraditos negros.
1 de cada 4 disposiciones tienen el color negro en la tercer fila y primer columna
1 de cada 3 disposiciones tienen el color negro en la primer fila y segunda columna
Dividimos (4!)^2 por 4*3 y nos queda 48 :D
La forma más fácil que encontramos para explicarlo a mi hijo que tiene 10 años fue gráficamente.
ResponderEliminarDibujamos la grilla 4 veces para ir viendo cuantos opciones de posición tenían por columna cada color, teniendo presente la posición fija de la casillas en negro.
Entonces para el Azul, la 1ra columna tendría 3 opciones de posición posible, 2da columna 3 posiciones, 3ra columna 4 posiciones y 4ta columna 4 posiciones: Nos da un total de 14 posiciones posibles para el color Azul.
Lo mismo pasaría para el rojo y el verde.
En cuanto al negro como hay posiciones fijas en 1er y 2da columna, solo hay 1 posibilidad para las columnas 1ra y 2da y como no se pueden duplicar los colores por fila, solo hay 2 posiciones para las columnas 3ra y 4ta. Por tanto para el color negro hay solo 6 posiciones posibles.
Sumamos 14+14+14+6: 48 opciones posibles.