3 = 3
31 = 31
314= 2 x 157
3141 = 32 x 349
31415 = 5 x 61 x 103
314159 = 314159
3141592 = 23 x 392699
..... etc
Analizando estas primeras factorizaciones vemos que a medida que aparecen algunos primos en los decimales de pi, estos a su vez aparecen como factor en las factorizaciones.
Pregunta cuya respuesta conozco:
- ¿Cuál es el próximo primo de dos cifras que al aparecer por primera vez en pi aparece a su vez como factor de dicho número?
Pregunta cuya respuesta desconozco:
- ¿ Habrá alguno mas, de dos o mas cifras, aparte de 31415926535897932384626433832795028841 y el formado por los primeros 16208 dígitos de pi?
Conjetura:
- ¿ Aparecerán todos los primos como factores de los números que se van formando a medida que agregamos mas y mas decimales? Hasta el decimal 231 el primer primo que no aparece como factor es el 139.
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a) 19. 314159265358979323846264338327950288419 es divisible entre 19.
ResponderEliminarb) Sí. Infinitos. La probabilidad de que un número de P dígitos sea primo se puede aproximar con 1/ln(10^P). Si tomamos infinitos números, cada uno de ellos con un dígito más que el anterior, la esperanza matemática del número de primos que hallaremos es el sumatorio de 1/ln(10^P) con P variando de 1 a infinito. Como dicho sumatorio tiende a infinito (es la serie armónica dividida entre ln10), habrá infinitos primos en los dígitos de pi empezando por el principio, y cada uno de esos primos cumple lo pedido.
c) Sí. Tomemos un número cualquiera, N. Ahora tomemos un conjunto de dígitos de pi concatenado empezando por el principio, D. La probabilidad de que N divida a D es 1/N. Como los números D que podemos formar son infinitos, los divisibles entre N serán ∞/N. Es decir, entre ellos habrá infinitos números D divisibles entre N, sea cual sea N –primo o no primo.
Los dos razonamientos anteriores son válidos si pi es simplemente normal, algo que no está demostrado, aunque lo he dado por hecho. Por ejemplo, si a partir de un cierto dígito de pi todos los siguientes fueran pares, entonces no serían válidos. Pero los billones de dígitos calculados de pi apuntan a que sí es simplemente normal, es decir, que los dígitos de 0 a 9 aparecen con la misma probabilidad.