500 - Cadena de amigos

Hoy he llegado a la entrada número 500.
La verdad es que a lo largo de estos casi dos años me he divertido bastante publicando diversas cosas sobre las matemáticas.
Por otra parte gracias al blog he conocido, y no solo a través de Internet, sino que también personalmente a muchas personas
Espero poder seguir publicando, mientras tenga tiempo, y como he conocido tantos nuevos amigos  pongo algo sobre los números amigos y sobre los números sociables.

Dos números amigos son dos enteros positivos A y B tales que A es la suma de los divisores propios de B en tanto que B es la suma de los divisores propios de A. (Al uno se lo considera divisor propio, pero así al mismo número).

Ejemplos de pares de números amigos :(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368) y  se pueden ver aquí.

La suma de los primeros pares de números amigos es 504, 2394, 5544, 10584, 12600, 21600, 26880, 35712, 129948, 134087 y la secuencia se puede ver acá.

El concepto de número sociable es la generalización de los conceptos de números amigos y números perfectos. Un conjunto de números sociables es una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior. En el caso de los números sociables, la sucesión es cíclica, es decir después de una serie de pasos los términos se repiten.
Los números sociables pueden ser de distintos ordenes dependiendo de la cantidad de números que participan en el ciclo.
Si participa un solo número tenemos los números perfectos como el 6, 28, etc.
Si participan dos números son los números amigos.
Si participan mas tenemos los sociables de 3,4, etc ciclos.

Los primeros números sociables conocidos son 12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 15472, 17716, 19116, 19916, 22744
Un caso interesante es el que se en la ilustración de abajo en el que empezando en el 14316 después de 28 pasos se vuelve al 14316.

1- 14316 = 2 ² .3. 1193    la suma de los 11 divisores de 14316 da 19116
2 -19116 = 2 ².3 ⁴ .59
3 -31704 = 2 ³ .3. 1321
4 -47616 = 2 ⁹ .3.31
5 -83328 = 2 ⁷.3.7.31
6 -177792 = 2⁷.3. 463
7 -295488 = 2 ⁶ .3 ⁵ .19
8 - 629072 = 2 ⁴ .39317

9 - 589786 = 2.294893
10- 294896 = 2 ⁴ .7. 2633
11 -358336 = 2 ⁶ .11. 509
12 -418904 = 2 ³ .52363
13 -366556 = 2 ² .91639
14 -274924 = 2 ² . 13 . 17 . 311
15 -275444 = 2 ² .13. 5297
16 -243760 = 2 ⁴.5. 11 .277
17 -376736 = 2 ⁵ .61.193
18 -381028 = 2 ² .95257
19 -285778 = 2. 43. 3323
20 -152990 = 2 .5. 15299
21 -122410 = 2.5.12241
22 -97946 =  2. 48973
23 - 48976 = 2 ⁴ .3061
24 - 45946 = 2. 22973
25 - 22976 = 2 ⁶ .359
26 - 22744 = 2 ³ .2843
27 -19916 = 2².13.383
28 -17716 = 2 ² .43. 103
29 -14316 = 2² .3. 1193

La imagen es del libro Recreations in the theory of numbers: the queen of mathematics entertains escrito por Albert H. Beiler

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