viernes, 19 de junio de 2009

143 - ¿Qué porcentaje de los números tiene al menos un tres?

¿Qué porcentaje de los números tiene al menos un tres?

El 100 %.
¡¿Qué?!
¿Cómo es posible afirmar que el 100 % de los números tiene un 3 si sabemos que hay infinitos números que no lo tienen?.
Tomemos por ejemplo el 8, ¿dónde está el 3?

Veamos como se llega al asombroso 100%.
¿Qué porcentaje de los primeros 10 números contiene al menos un 3?
Es fácil, solo el 3, por lo que nos da un porcentaje del 10%,
¿Qué porcentaje de los primeros 100 números contiene al menos un 3?
Aquí el número aumenta a un 19%, y si consideramos los primeros 1000 números, el porcentaje se eleva a 27.1%.
Por lo tanto se ve claramente que el porcentaje de números que contienen al menos un 3 se puede expresar como 1 - (.9)^n donde n es el número de dígitos a considerar.
Cuando n tiene 42 digitos esta expresión alcanza un valor de 99%.
Por lo tanto el radio de números "con tres" sobre los "sin-tres" en el infinito será 1 - (.9)^infinito, o sea que será igual a 1.

Esta paradoja ilustra uno de los muchos problemas al tratar de aplicar
conceptos (como el porcentaje) usados para conjuntos comunes asociados al infinito.

Este artículo es una traducción del escrito por Kevin J. Lin en http://www.greylabyrinth.com y está basado en un puzzle de Clifford Pickover.
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