En Radio Nacional de España, cada 15 días los sábados dentro de un programa que se llama "No es un día cualquiera" hablan a las 11:05 sobre matemáticas. Pusieron un reto que era hallar un número de 100 cifras, sin utilizar el 0 que fuera divisible por la suma de sus cifras.
Obviamente que hay muchas soluciones y diferentes formas de resolverlo. Que lo disfruten
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Lo mas facil se me ocurre: Cualquier numero que termine en 125 es divisible por 125, por lo tanto tenemos que cualquier número de 100 cifras, que termine en 125 y las otras 97 cifras sumen 117 sin que tenga 0 sirve.Tratare de calcular cuantos números diferentes puede existir con esta caracteristica. Tiene que tener como mínimo 77 unos. Los otros 20 digitos que faltan deben sumar 40.
ResponderEliminarMuy bien Pablo, lo interesante de este problema es que tiene muchas soluciones, la que yo encontré es distinta, y la de Rafael es otra. si no aparecen, las pondré en los comentarios
EliminarLo de buscar cuantas soluciones de cada tipo hay , suena interesante
Son muchisimas combinaciones, empece por la de 20 dos, y fui disminuyendo el número de dos, por ahora llegue a 13 dos, puede ser con 6 unos y 1 ocho, ; 5 unos 1 seis y 1 tres; 5 unos 1 cinco y 1 cuatro; 4 unos dos tres y 1 cuatro. Pero claro recien voy por ver como se forman los 20 digitos, despues hay que calcular para cada caso las combinaciones posibles, es titánico, creo que no podre hacerlo
EliminarEl mayor que encuentro:
ResponderEliminar9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996132
El menor:
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111122
Vicente iq.
Claudio, después de indicarte la solución se me ocurrió la que dice Pablo, que también, siendo múltiplo de 125 puede ser:
ResponderEliminarTerminado en 375-->84*1+13*2+3+7+5.
Terminado en 625-->82*1+15*2+6+2+5
Terminado en 875-->89*1+8*2+8+7+5
La que te indiqué la diremos más adelante.
He intentado hallar una solución algebraica a un caso reducido de utilizar solo 2 dígitos distintos en 2 grupos, siendo uno de los dígitos el 1. O sea, un nº de la forma:
ResponderEliminar1111...111nnnnn....nnnnnn
la fórmula para expresar un nº de unos seguidos es:
(10^k-1)/9
donde "k" es el nº de unos que queremos tener.
La fórmula para expresar un nº formado por varias "n" es:
n (10^j-1)/9
donde "j" es la cantidad de "n" que tiene el nº.
Ejemplo:
El nº 11111444 se puede formular como:
10^3(10^5-1)/9 + 4(10^3-1)/9
La fórmula general es:
10^j(10^k-1)/9 + n(10^j-1)/9
Este es el nº general que debe ser divisible por la suma de sus dígitos:
k + n j
Las restricciones a aplicar son:
10>n>0
k>0
j>0
k+j=100
Solo hay 5 soluciones que se encuentran fácilmente:
n k j
a)2 98 2 (98 unos seguidos de 2 doses)
b)2 53 47 (53 unos seguido de 47 doses)
c)2 2 98 (2 unos seguidos de 98 doses)
d)4 38 62 (38 unos seguidos de 62 cuatros)
e)8 86 14 (86 unos seguidos de 14 ochos).
Vicente iq.
Indicaré la solución que dieron en la radio.
ResponderEliminar99 unos y 1 cero (11...11110) es múltiplo de 111, si se le suma 444 (que también lo es) obtenemos 97 unos y 554 (11...11554), que sumados dan 97+5+5+4=111.
Lo del 444 parece que ha salido por tanteo.
EliminarPero me parece una forma fácil de obtener una solución.
Yo dí como resultado mínimo 98 unos y 2 doses. O sea, a 100 unos le sumamos 11. Lo encontré por tanteo.
Vicente iq.