jueves, 25 de abril de 2013

1126 - Acomodando los números I

Colocar los números de 1 a N en fila de forma tal que el producto de dos números vecinos mas uno  sea primo:

N = 2       1 2
N = 3       1 2 3
N = 4       1 2 3 4
N = 5      5 2 3 4 1
N = 6      5 2 3 4 1 6 
N = 7      5 2 3 4 1 6 7
N = 8      8 5 2 3 4 1 6 7
N = 9      9 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 10    9 8 5 2 3 4 1 6 7 10


La pregunta es obvia, ¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto mas uno de dos números vecinos sea primo?

Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
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3 comentarios:

  1. Lo que es obvio es que los numeros no pueden tener la misma paridad, porque en ese caso, habria un multiplo de 2 para un par de numeros impares. (recordar que la cantidad de numeros pares e impares es la misma salvo uno que sobre que siempre sera impar)

    Por tanto, alternamos pares e impares :)

    Lo otro que se observa es que los numeros "nuevos" pueden agregarse al principio o al final de la fila. Caso contrario, habría que ver una nueva forma de reordenar los numeros

    Por intuicion diria que no, dado que cada vez los primos son menos frecuentes y es muy probable que haya algun momento en que las distribuiciones formen, forzozamente, un numero compuesto de la forma (ai)·(aj)+1

    Saludos :) muy bueno e interesante el problema

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  2. Para introducir el 11habría que ponerlo al lado del 8, 2 o 6 con lo cual habría que variar la secuencia.
    Si se sustituye por el 5 este no se podría poner al lado del 10.
    Se ve que cada vez se complica más.

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  3. La lista en cuestión hasta N debe tener N-1 (productos + 1) primos.
    El mayor primo de la lista de productos puede llegar a ser Nx(N-1)+1 y el menor, 3.
    Estimo que no sea siempre posible, porque siempre podemos encontrar una lista de nºs NO primos consecutivos , compuestos, tan grande como queramos. En este caso dentro de la lista de nºs anteriores al comienzo de nuestra lista de compuestos, habrá una lista de nºs cuyo producto + 1 caiga dentro de la lista de no primos.
    Si encontramos, al menos, 3 nºs dentro de la lista anterior al comienzo de los compuestos, que al multiplicarlos 2 a 2 no formen primos, no se podrían conseguir los N-1 (productos + 1) primos.
    El tema no es fácil de demostrar.

    Vicente iq.

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