N = 2 1 2
N = 3 1 2 3
N = 4 1 2 3 4
N = 5 5 2 3 4 1
N = 6 5 2 3 4 1 6
N = 7 5 2 3 4 1 6 7
N = 8 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 9 9 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 10 9 8 5 2 3 4 1 6 7 10
La pregunta es obvia, ¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto mas uno de dos números vecinos sea primo?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
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Lo que es obvio es que los numeros no pueden tener la misma paridad, porque en ese caso, habria un multiplo de 2 para un par de numeros impares. (recordar que la cantidad de numeros pares e impares es la misma salvo uno que sobre que siempre sera impar)
ResponderEliminarPor tanto, alternamos pares e impares :)
Lo otro que se observa es que los numeros "nuevos" pueden agregarse al principio o al final de la fila. Caso contrario, habría que ver una nueva forma de reordenar los numeros
Por intuicion diria que no, dado que cada vez los primos son menos frecuentes y es muy probable que haya algun momento en que las distribuiciones formen, forzozamente, un numero compuesto de la forma (ai)·(aj)+1
Saludos :) muy bueno e interesante el problema
Para introducir el 11habría que ponerlo al lado del 8, 2 o 6 con lo cual habría que variar la secuencia.
ResponderEliminarSi se sustituye por el 5 este no se podría poner al lado del 10.
Se ve que cada vez se complica más.
La lista en cuestión hasta N debe tener N-1 (productos + 1) primos.
ResponderEliminarEl mayor primo de la lista de productos puede llegar a ser Nx(N-1)+1 y el menor, 3.
Estimo que no sea siempre posible, porque siempre podemos encontrar una lista de nºs NO primos consecutivos , compuestos, tan grande como queramos. En este caso dentro de la lista de nºs anteriores al comienzo de nuestra lista de compuestos, habrá una lista de nºs cuyo producto + 1 caiga dentro de la lista de no primos.
Si encontramos, al menos, 3 nºs dentro de la lista anterior al comienzo de los compuestos, que al multiplicarlos 2 a 2 no formen primos, no se podrían conseguir los N-1 (productos + 1) primos.
El tema no es fácil de demostrar.
Vicente iq.
Parecido a la segunda parte, pero ahora alternando pares e impares. El problema se empieza a volver intratable en torno a N = 130, pero a veces suena pronto la flauta.
ResponderEliminarPara N=11 hay 1040 soluciones (520 por simetría): 11 8 9 4 7 10 3 6 5 2 1
Para N=12 hay 3714 soluciones: 11 8 9 12 5 6 7 10 3 4 1 2
Para N=13 hay 17600 soluciones (8800 por simetría): 13 12 9 8 11 6 7 10 3 4 1 2 5
Para N=14 hay 24542 soluciones: 13 12 9 14 5 8 11 6 7 10 3 4 1 2
N=50: 1 2 3 4 7 6 5 8 9 12 13 10 15 14 17 18 11 30 19 22 21 16 25 24 39 28 49 34 27 20 23 26 35 42 41 38 47 44 33 40 37 48 31 46 43 36 45 50 29 32
N=130: 1 2 3 4 7 6 5 8 9 12 13 10 15 14 17 18 11 30 19 22 21 16 25 24 39 28 27 20 23 26 33 34 37 40 43 36 31 42 35 66 41 38 29 32 53 44 47 50 45 48 59 54 49 52 55 46 51 56 63 62 75 64 67 60 71 72 69 58 57 68 65 86 81 80 87 70 61 76 91 88 85 82 73 84 77 78 79 100 99 92 95 98 107 74 83 102 113 116 101 96 121 112 111 110 89 122 129 104 125 128 119 120 93 126 103 114 97 118 117 108 115 130 123 90 109 94 105 106 127 124
N=152: 1 2 3 4 7 6 5 8 9 12 13 10 15 14 17 18 11 30 19 22 21 16 25 24 39 28 27 20 23 26 33 34 37 40 43 36 31 42 35 66 41 38 29 32 53 44 47 50 45 48 59 54 49 52 55 46 51 56 63 62 75 64 67 60 71 72 69 58 57 68 65 86 81 80 87 70 61 76 91 88 85 82 73 84 77 78 79 100 99 92 95 98 107 74 83 102 101 90 89 104 119 108 97 114 103 126 93 96 111 110 105 94 109 132 121 112 129 122 141 106 127 120 145 124 133 130 115 136 123 142 139 138 149 128 125 146 143 134 147 116 113 144 135 152 131 140 137 150 151 148 117 118
N=170: 1 2 3 4 7 6 5 8 9 12 13 10 15 14 17 18 11 30 19 22 21 16 25 24 39 28 27 20 23 26 33 34 37 40 43 36 31 42 35 66 41 38 29 32 53 44 47 50 45 48 59 54 49 52 55 46 51 56 63 62 75 64 67 60 71 72 69 58 57 68 65 86 81 80 87 70 61 76 91 88 85 82 73 84 77 78 79 100 99 92 95 98 107 74 83 102 101 90 89 104 119 108 97 114 103 126 93 96 111 110 105 94 109 132 121 112 129 122 141 106 127 120 145 124 133 130 115 136 117 118 165 116 113 144 123 142 139 138 147 164 137 140 131 170 159 128 149 168 169 148 151 150 155 134 143 146 125 152 135 160 157 154 153 156 167 158 161 162 163 166