Usted ve la mano, nota que hay un As y dice "tengo un as".
¿Cuál es la probabilidad de que usted tenga otro as?
Las barajas se recogen y se reparte una nueva mano.
En esta ocasión nos fijamos en la mano y vemos que tenemos el As de corazones
¿Cuál es la probabilidad, esta vez, de que tenga otro as?
Pregunta: ¿Es la probabilidad en el segundo caso la misma que en la primera, es menor, o es más alta?
Piensélo.
Este es un problema en el que la primera impresión nos hace pensar que el problema no tiene mucho sentido, pero cuando se analiza matematicamente, se ve que la intuición no siempre va de la mano con la realidad.
Si sabe de probabilidad intente resolverlo antes de seguir leyendo
Lo que en realidad nos pide el problema es calcular y comparar las siguientes probabilidades :
- Manos con al menos dos ases / Manos con al menos un as
- Manos con al menos dos ases (uno de los cuales es el as de corazones) / Manos con el As de Corazones
Aquí van los cálculos :
Para evitar usar ecuaciones muy grandes, voy a utilizar la abreviatura B{n, r} para representar al número combinatorio = n! / (r! (n-r)!)
- Número total de manos posibles = Son todas las formas posibles de combinar las cartas para hacer una mano de bridge. Hay 52 cartas en una baraja, y son 13 en una mano = B{52,13}
- Manos sin ases = El número de manos que no tienen ases. Hay 48 naipes que no son ases, y 13 en una mano = B{48,13}
- Al menos un as = El número de manos que tienen al menos un As = Número total de manos posibles - Manos sin ases = B{52,13} - B{48,13}
- Exactamente un as = El número de manos que tienen un solo As. (Elija cualquier As, a continuación, elija 12 no ases) = B{4,1} x B {48,12}
- Al menos dos ases = Comience con el número total de manos, y luego reste las manos que tienen o un as o ninguno. Usted se queda con el número de manos con dos o más ases = Número total de manos posibles - (Manos sin ases + Exactamente un as) = B{52,13} - (B{48,13} + B{4,1} x B{48,12} )
Ahora tenemos suficiente para calcular nuestra primera relación (las probabilidades de tener un segundo As, si usted afirma que tiene un As):
Al menos dos ases / Al menos un as =
B{52,13} - (B{48,13} + (B{4,1} x B{48,12} ) / (B{52,13} - B{48,13}) = 36,27%
o sea que la probabilidad de tener un segundo as en una mano de trece cartas cuando uno tiene un as es del 36.27%
Vamos a calcular ahora la segunda probabilidad, para ello necesitamos saber :
- Con As de Corazón = Número de manos con el as de corazón. (Elegimos el As de corazón, y luego tenemos que elegir 12 cartas de las 51 restantes) = B{51,12}
- Sin otros ases = Número de manos sin otros ases = B{48,12}
- Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón = Número de manos con al menos dos ases, uno de los cuales es el As de corazón = Con As de Corazón - Sin otros ases = B{51,12} - B{48,12}
Ahora ya podemos calcular la segunda probabilidad (posibilidad de tener un segundo As si usted afirma que tiene el As de corazón):
Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón / Con As de Corazón=
( B{51,12} - B{48,12} ) / B{51,12} = 56,12%
He aquí el resultado sorprendente : Si usted dice "Tengo el As de corazones", es más probable que usted tenga otro As que si solamente usted dice "Tengo un as"!
Si usted afirma que tiene el As de corazones hay 11686/20825 de probabilidad de que tiene (al menos) otro As, o sea un 56,12%. Si usted afirma que tiene un As, la posibilidad de que tenga (al menos) otro As es de 5359/14498 (que es 36,27%). Es un 50% menos probable!
Basado en el artículo Counterintuitive Conundrums
Esta entrada participa de la edición 3.141592 del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza ZTFnews.org
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Entradas
Muy bueno
ResponderEliminarFelicidades por pasar las 1000 entradas!
ResponderEliminarMe ha parecido tan sorprendente que lo he analizado para un caso más sencillo. Tengo 6 cartas, tres ases (A, B y C) y tres reyes (X, Y y Z) para dos jugadores.
ResponderEliminarHay 20 manos posibles {ABC ABX ABY ABZ ACX ACY ACZ AXY AXZ AYZ BCX BCY BCZ BXY BXZ BYZ CXY CXZ CYZ XYZ}, 1 sin ases {XYZ} y 19 con al menos 1 as {ABC ABX ABY ABZ ACX ACY ACZ AXY AXZ AYZ BCX BCY BCZ BXY BXZ BYZ CXY CXZ CYZ XYZ}. Como hay 10 manos con al menos 2 ases {ABC ABX ABY ABZ ACX ACY ACZ BCX BCY BCZ} si tengo 1 as la probabilidad de que tenga al menos 2 es 10/19=0,5263.
Llamamos A al as de corazones. Hay 10 manos con A {ABC ABX ABY ABZ ACX ACY ACZ AXY AXZ AYZ} de las que 3 no tienen otro as {AXY AXZ AYZ} y 7 sí {ABC ABX ABY ABZ ACX ACY ACZ} luego si tengo A la probabilidad de tener otro as es 7/10=0,7.
¡Sorprendente!
Exacto Mmonchi, muy buen planteo, muy ilustrativo, en el que se "ve" lo mismo que en el mazo completo. Casi un 50% mas de probabilidad!
EliminarMuy interesante el problema, pero tengo que discrepar con la conclusión del enunciado y con las respuestas, porque en el fondo no hay paradoja ninguna. La probabilidad es 56,12% en todos los casos, dando igual que sepamos el as en concreto que tenemos entre manos. Intentaré explicarme lo mejor posible. Y para ello usaré el ejemplo de Mmonchi, de solo 6 cartas, para hacerlo más fácil.
ResponderEliminarSi vemos que tenemos un as en la mano, aunque no sepamos cuál es de entrada, solo puede ser A, B ó C. Si es A, la probabilidad de tener un segundo as en la mano ya se ha visto que es 0.7. Si el as fuera B, de forma similar se demuestra que la probabilidad de conseguir un segundo as también sería 0.7. Y si el as fuera C, lo mismo. Por lo tanto, como sólo puede ser uno de esos tres casos, la intuición y la realidad nos dicen que la probabilidad de tener un segundo as es 0.7.
Dicho de otro modo, llamemos P al as que vemos en primera instancia, que será A, B ó C, aunque de entrada no nos hayamos fijado. Y llamemos Q y R a los otros dos ases de la baraja. Por lo tanto, hay 10 manos posibles que contengan nuestro as inicial {PQR PQX PQY PQZ PRX PRY PRZ PXY PXZ PYZ}, y de éstas, 7 manos que contienen un segundo as {PQR PQX PQY PQZ PRX PRY PRZ}. Por lo tanto, la probabilidad de coger un segundo as es 7/10.
Esto quiere decir, que el argumento inicial de que si no sé qué as es el que tengo, tengo 20 casos posibles, no es del todo cierto. Lo que habría que decir es que estoy en una de tres situaciones diferentes (en función de si P=A, P=B ó P=C) donde en cada una de las situaciones hay 10 casos totales posibles, y 7 favorables. Es cierto que si juntamos las tres situaciones, y quitamos los casos repetidos, me salen 19 casos totales, pero no se pueden emplear en el cálculo. ¿Por qué? Porque supongamos que el as que inicialmente fuese el A, aunque yo no sé que es el A todavía. Pues entonces, el caso BCX no puede ser un caso posible, porque aunque sea un caso con dos ases en la mano, ninguno de esos dos ases coincide con el que vi inicialmente!! (aunque no sepa cuál era exactamente)
Espero haberlo aclarado.