719 - Los números brasileños

Un número n se llama brasileño si dicho número puede escribirse con un solo dígito d repetido en una determinada base distinta a n-1.Así en base 10 los números 22, 333, y 66666 por ejemplo son números brasileros.
Otro ejemplos: el 31 en base 2 es (11111) 2 , el 80 es (2222)₃, y el 285 es (555)₇ por lo tanto estos también son números brasileños.
Tomemos por ejemplo el 17. En las diferentes bases menores a 16, el 17 se escribe: (10001)2 = (122)3 = (101)4 = (32)5 = (25)6 = (23)7 =(21)8 = (18)9 = (16)11 = (15)12 = (14)13 = (13)14 = (12)15
Solo en la base 16, es donde el 17 se escribe con un solo dígito repetido (11)16. Pero esta base no cuenta ya que todo número n se escribe siempre (11)n-1 en la base n-1. En resumen, el número 17 no es brasileño.
Un poco más de detalle en la definición:
Un número n se dice brasileño si hay una base b (con 1 < b < n-1) en el que dicho número puede ser escrito como un solo dígito repetido.
Por ejemplo 1, 2, 3, 4, 5 y 6 no son brasileños, en cambio el 7 = (111)2 y el 8 = (22)3 si son brasileños..
Los números de Brasil aparecieron en 1994, durante la Olimpiada Iberoamericana de Matemática, que tuvo lugar en Brasil. A los mexicanos les causó sensación al proponer al año siguiente " Un número n se dice brasileño [...]. Demostrar que 1994 es brasileño, y 1993 no lo es ". [El término "brasileño" se inventó después del hecho].

Pero entonces, 1994, es o no es brasileño?
No es divertido escribir 1994 en todas las bases de entre 2 y 1992 para ver si funciona, sería demasiado largo.
Para demostrar que un número n es brasileño, es suficiente encontrar los números enteros d, b y q (con q ≥ 1 y 1 ≤ m) tal que n = d (1 + b + b2 +...+ bq ) donde d es el número que aparece repetido en la base b
Vemos que d siempre divide a n, entonces d debe ser uno de sus divisores. 
Comenzamos haciendo una lista de todos estos divisores (d1 , ..., dk ), lo que da como mucho candidatos potenciales para d.
Para un divisor di debe cumplirse que (n / di) -1 = b (1 + b +...+ bq-1 )
Haciendo una lista de los divisores de (n/ di) -1 mayores a i se puede encontrar los números candidatos a ser iguales en b. 
No hay más que tratar de ver si un valor de q ≥ 1 nos da n/di = 1 + b +...+ bq  =
(bq+1-1) / (b-1)
Con el 1994
Los divisores de 1994 son 1, 2 y 997.
Para d = 1, debemos resolver 1993 = b(1 + b +...+ bq-1 ). Pero como 1993 es primo, por lo cual no hay solución posible.
Para d = 2, tenemos que resolver (1994/2 )-1 = 996 = b(1 + b +...+ bq-1 ). 
Los divisores de 996 son 3, 4, 6, 12, 83, 166, 249, 332, 498, y 996.
 Con b = 3, tenemos que resolver 996/3 = (1 + 3 +...+ 3 q-1 ) lo que no es posible
 Con b = 4, tenemos que resolver 996/4 = (1 + 4 +...+ 4 q-1 ) tampoco es posible
 Con b = 6, 12, 83, 166, 249, 332 y 498, también es imposible.
 Con b = 996, por el contrario nos encontramos con 996/996 = 1 o sea que 1994 es un número brasileño porque 1994 = (22) 996
Bueno, en realidad era muy fácil, está claro que todos los números n pares mayores a 8 son números brasileños, ya que se escriben como 22 en la base (n / 2) -1 .
Utilizando el mismo tipo de razonamiento, se puede demostrar que 1993 no es un número de Brasil, y que si lo es el 1807 o que 2007 es brasilero de dos maneras diferentes 2009 = (77) 286 = (41.41) 48 
Y los números primos?
Los matemáticos tienen una mala costumbre, tan pronto como un nuevo tipo de número se inventa, se debe buscar cuál es su relación con los números primos (nunca se sabe si podrían proporcionar una nueva manera revolucionaria para generar nuevos números primos.)

El pequeño teorema de la primalidad de los números brasileros:
Si un número n> 7 no es brasileño entonces o es un número primo o es el cuadrado de un número primo.
Obviamente, lo contrario es falso, hay números primos que son brasileros (7, 13, 31 ...), y otros que no lo son (2, 3, 5, 11, 17, ...). Incluso hay números no primos que son brasileños (números pares) y números no primos que no son brasileros (2², 3², 5², 7², 13², ...).
Esto permite decir que hay un número infinito de números brasileños. 
No está claro sin embargo si existe un número infinito de primos brasileños ( ya que son más bien raros: sólo el 0,01% de los números primos menores a mil millones son brasileños ).
El teorema general de la primalidad de los números de los estados brasileños:
Si un número primo p ≥ 7 es brasileño, entonces se puede escribir en una base adecuada con un número primo impar de unos.
Lo contrario es obviamente falso: el número 111 (escrito en base 10 con un número primo de 1) no es primo (111 = 3x37).
Algunos teoremas y conjeturas a granel
(En muy variados niveles de dificultad)
* Un número de Fermat (de la forma 2 n ^ 2) primo jamás es brasileño
* Un número de Fermat no primo sigue siendo brasileño
* Conjetura: Un número primo de Sophie Germain (si p y 2p+1 son primos) no es brasileño (verificado sólo los primeros 3000 números pSG )
* La serie de los inversos de los números primos brasileños es convergente (y se sitúa entre 0,32 y 1)
* Cualquier número entero puede ser escrito como la diferencia de dos números brasileros
* Conjetura: Sólo existen tres (o un número finito?) de potencias puras repunits que son números brasileños Sólo tres números corresponden a esta definición 121 = 112 = (11 111)3 , 343 = 73 = (111)18 y  400 = 20 2 = (1111)7 

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Fuentes:
Bernard Schott, 
Les nombres brésiliens , Quadrature, no. 76, avril-juin 2010, pages 30-38. 2007 hay una serie de Brasil?  del mismo autor, pero la versión del foro mathematiques.net
Secuencia A125134 en la OEIS
En francés puede leerse el artículo de Bernard Schott
Este artículo esta basado en lo escrito en este blog


Esta entrada participa en la Edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Mago Moebius.

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