miércoles, 7 de mayo de 2014

1308 - Con los números del 1 al 16

Los números del 1 al 16 pueden ser divididos en 4 grupos con 4 números  cada uno de forma tal que la suma de los números de cada grupo sea igual a 34.
Unos ejemplos de estas divisiones son los siguientes :
a) 1,2,15,16    -  3,4,13,14 - 5,6,11,12  - 7,8,9,10
b) 1,2,15,16   -  3,5,12,14 - 4,9,10,11  - 6,7,8,13
c) 1,4,13,16    -  2,3,14,15 - 6,8,9,11    - 5,7,10,12

¿Cuántas divisiones como estas son posibles?

Cuando empecé a buscar las soluciones pensé que había algunas pocas, pero me equivoqué, hay muchas mas de las que pensaba...
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12 comentarios:

  1. Si no me he equivocado hay muchas, 392.
    Me resulta muy interesante que se pueda hacer este tipo de particiones con grupos de números consecutivos.
    Está claro que cualquier número n^2 permite este tipo de particiones. La suma que debe tener cada grupo de n dígitos es: RaizCuadrada[n] (n+1)/2.

    Vicente iq.

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  2. No entiendo este comentario "Está claro que cualquier número n^2 permite este tipo de particiones. La suma que debe tener cada grupo de n dígitos es: RaizCuadrada[n] (n+1)/2.". ¿Lo puedes explicar un poco más?

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    Respuestas
    1. En cualquier grupo de números consecutivos desde 1 hasta n^2 podemos hacer n particiones de n números cada una y que cada partición tenga la misma suma. El resultado de la suma es el que he indicado.

      vicente iq.

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    2. y para ser más riguroso con la deducción de la fórmula de la suma de cada partición.
      La suma de los nºs de 1 a n^2 es:
      n^2(1+n^2)/2
      Este resultado es siempre divisible por n e igual a
      n(n^2+1)/2
      En el primer resultado que di, n se refería a n^2. Debería haberla sustituido por otra letra.

      Vicente iq.

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  3. El número de soluciones para n = 1x1, 2x2, 3x3 y 4x4 es 1, 1, 2 y 392.

    He buscado en el OEIS si estaba la secuencia y no la encuentra, de modo que se podría calcular el número de combinaciones en el caso de 5x5 y proponerla.

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  4. Colegas ¿vislumbran alguna fórmula que relacione a n con el #de soluciones?

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  5. Tengo alguna pista.
    Parece que este problema está relacionado con la forma de encontrar diferentes cuadrados mágicos de lado n utilizando todos los números desde 1 hasta n^2.
    He llegado a esta conclusión calculando el nº de combinaciones distintas de n dígitos que suman lo mismo.
    Los valores son:
    para n = 3, 8
    para n = 4, 86
    para n = 5, 1394
    para n = 6, 32134

    Secuencia http://oeis.org/A052456

    Por lo que parece que el # de soluciones está relacionado con el # de distintos cuadrados mágicos de orden n utilizando todos los nºs desde 1 hasta n^2.

    puede ser un camino a seguir.

    Vicente iq.

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  6. Siguiendo lo que he indicado antes he estado analizando el caso simple para n=3.
    Resulta que solo hay 2 soluciones distintas quitando las que se obtienen por reflexión y rotación de las 8 posibles. Esas 2 son las que indicaba Mmonchi para n=3.
    Por lo que parece que la fórmula que se busca es la de obtener todos los cuadrados mágicos distintos, sin contar rotaciones ni reflexiones, de orden n utilizando los nºs desde 1 hasta n^2.
    No hay métodos generales para generar cuadrados mágicos, además de que los métodos que existen parece que utilizan procedimientos distintos según n sea par o impar.

    Vicente iq.

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    Respuestas
    1. Corrección: las 2 soluciones que hay para n=3 no se corresponden a 2 cuadrados mágicos distintos de orden 3. Se corresponden a los valores horizontales y a los valores verticales del único cuadrado mágico de orden 3 que existe.
      Para el caso de n=4, el valor 392 no sé a qué corresponde ya que hay 880 cuadrados mágicos distintos. Pero intuyo que debe haber alguna relación similar a la que hay para n=3.

      Vicente iq.

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