1315 - Golígonos, Goliedros y demás

El otro día leyendo la página Math overflow me enteré de la existencia de los Golígonos.
Un golígono (técnicamente llamado "isógono serial de 90 grados") es cualquier polígono con todos los ángulos rectos, cuya longitud de los lados son una secuencia de números enteros. Los golígonos fueron inventados y nombrados por Lee Sallows, y popularizados por A.K. Dewdney en la columna de Scientific American de 1990.
Así lo presentaban en la revista:
"Permítanme introducirlos a un viaje en Golygon City. Usted puede realizar un viaje similar en Nueva York, Kioto o en casi cualquier gran ciudad cuyas calles forman una cuadrícula . Aquí están sus instrucciones. Camine una sola calle de la ciudad en cualquier dirección,  al final de la misma gire a la izquierda o a la  derecha y. camine dos cuadras más, luego gire nuevamente  a la izquierda o a la derecha, y  camine ahora otras tres calles mas, y así sucesivamente. Cada vez que gira, debe caminar en línea recta una cuadra más que antes. Si después de una serie de giros llega a su punto de partida, es que ha trazado un golígono. Si usted no quiere  hacer  ejercicio físico, puede simular fácilmente el viaje al mover un lápiz a lo largo de un pedazo de papel cuadriculado . Si queda perdido, puede ver al mapa a continuación. "

Una forma de describir a un goligono es usando puntos cardinales, así el golígono de la imagen puede describirse como : 1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
Donde N,S, E y W significan Norte, Sur, Este y Oeste
En cualquier golígono, todos los lados horizontales tienen la misma paridad, así como también pasa en los lados verticales. Por lo tanto, el número n de lados debe permitir la solución en un sistema de ecuaciones.

De esto se desprende que n debe ser múltiplo de 8.
No se permite pasar dos veces por un mismo punto
Un dato interesante es que se puede teselar una superficie usando golígonos:

A partir de allí muchas preguntas surgieron:
a) ¿Cuantos golígonos diferentes de 16 lados existen?
b) ¿Es posible formar golígonos con lados primos?
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?

Todas estas preguntas ya fueron respondidas
a) Es posible formar 72 golígonos distintos de 16 lados
 Un ejemplo:
1N 2E 3N 4E 5S 6E 7S 8E 9S 10W 11S 12W 13N 14W 15N 16E
El número total de golígonos de 16 lados es 112.
En la Oeis aparece la siguiente secuencia A007618: 4, 112, 8432, 909288, 121106960, 18167084064, 2956370702688, 510696155882492, 92343039606440064, 17311893232788414400, 3342127071364266721200 que indica la cantidad de golígonos de largo 8n

b) Golígono con 16 lados primos :
1N 3E 5N 7W 11N 13W 17N 19E 23N 29W 31N 37E 41S 43E 47S 53W y
1N 3E 5S 7W 11S 13W 17N 19E 23N 29W 31S 37E 41S 43E 47N 53W

Golígono con lados primos

c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
La respuesta es sí :
1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
2N 3E 4S 5W 6S 7W 8N 9E
3N 4E 5S 6W 7S 8W 9N 10E
etc
Podemos seguir indefinidamente porque si vemos las direcciones del primer golígono obtenemos las siguientes ecuaciones
1-3-5+7 =0 y 2-4-6+8 = 0, en los siguientes golígonos lo único que hacemos es sumarle 1 a cada término por lo que la igualdad se mantiene (sumamos y restamos 2)


Lo que preguntó Joe O’Rourke en Mathoverflow era si existia un goliedro, es decir una versión 3D de un golígono.
Adam P Goucher leyó el post y construyó el primer goliedro que se conoce que tiene 32 caras

Adam escribió un post en su blog en el cual explica como lo obtuvo.

Alexey Nigin recientemente descubrió este goliedro mas pequeño de solo 15 lados:

Actualización : Alexey Nigin encontró este Goliedro de 12 lados

Una idea que se me ocurrió leyendo sobre los golígonos es si podía haber alguno en que los lados horizontales fueran números consecutivos desde el 1 hasta n y los verticales los números que van de n+1 hasta 2n.
Evidentemente existen estas figuras ya que por ejemplo 1-2-3+4 = 0 y 5-6-7+8=0
Así por ejemplo podemos formar la siguiente figura 1E 5S 2W 6N 3W 7N 4E 8S

  
También se pueden hacer polígonos con lados que sean números de Fibonacci con una cantidad de lados horizontales y verticales múltiplos de 3 (ya que siempre F_i + F_i+1 = F_i+2)
Ejemplo: 1E 5S 2E 8S 3W 13N

¿Qué otras variantes para los golígonos se les ocurre?

Pd: aquí está el golígono de 8 lados primos consecutivos que me envió Carlos Rivera, empieza en el 359

y este es el de 16 lados primos consecutivos, también encontrado por Carlos Rivera

Fuentes :
Golígono en Wikipedia
Mathoverflow
Cp4 Golygons and Golyhedra
Golygons el sitio de Harry Smith
Oeis A006718 


Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.

Esta entrada ganó como mejor post de dicha edición del carnaval de matemáticas
 

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