Hasta el 2 encontré que había uno que tenía un "1", y uno que no tenía un "1"
Seguí contando y cuando llegué al 16 encontré que había ocho que tenían al menos un "1" y ocho que no contenían un "1".
La siguiente igualdad se presentó en el 24 con doce que tenían al menos un uno y 12 sin unos.
Seguí buscando y encontré varios números hasta los cuales la cantidad de números con al menos un "1" era igual a la que no contenían unos.
Preguntas
- ¿Quien puede continuar la serie : 2, 16, 24, ... ? (yo tengo solo 16 términos).
- En la serie aparecen tres números separados por 2 unidades cada uno (k, k+2, k+4), hay grupo así en la serie?
- ¿Es una serie finita o infinita?
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Estos son todos los que hay: 2, 16, 24, 160, 270, 272, 1456, 3398, 3418, 3420, 3422, 13120, 44686, 118096, 674934 y 1062880.
ResponderEliminarLa serie es finita. El número de términos que tienen algún 1 entre 1 y 10^n es 10^n-9^n. Como hay algún valor de n para el que 10^n-9^n>10^n/2, a partir de ese valor es imposible que haya más términos de la serie. Concretamente se da para n=7: 10^7-9^7=5217031, que es mayor que 5000000. A partir de ahí el número de términos con 1 es mayor que el de términos sin 1 en cada grupo de 10000000 términos, por lo que no se pueden hallar más soluciones.
Es interesante señalar que la serie sigue siendo finita si buscamos que los términos con 1 sean el doble, el triple o cualquier múltiplo de los que no tienen 1, ya que (10^n-9^n)/10^n es cada vez mayor, tendiendo a 1.
La serie de los números para los que hay el doble con unos que sin unos hasta ellos empieza con el 19680, hay 13120 con unos y 6560 sin unos. Tiene 16 términos (salvo que se me haya escapado alguno):
ResponderEliminar19680, 20394, 21867, 22110, 177144, 245049, 1594320, 14348904, 34903647, 34917639, 129140160, 464298153, 464298243, 1162261464, 7556886567 y 10460353200.
Mmonchi: Hay otros términos : 245184, 245208, y 245211 (yo busqué hasta casi 10000000)
Eliminar.
Es posible que para la serie original haya mas términos para el "2" que para el "1"? (yo encontré 24 para el "2")
Todas las series son finitas, ya que el número de términos que tienen un dígito cualquiera entre los que no lo tienen tiende a infinito. (Me recuerda un problema: dado un número cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún 7? Respuesta: 100%). Pero los términos que tienen un 2 aparecen más tarde que los que tienen un 1. Por ejemplo, en las diez primeras centenas los términos que tienen 1 son 19, 100, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19 y 19. En cambio los que tienen un 2 son 19, 19, 100, 19, 19, 19, 19, 19, 19 y 19.
EliminarYo he buscado los términos en los que coinciden buscando series de bajada (en las que hay más términos sin 1 que con 1) y de subida (hay más términos con 1, como en la segunda centena, que tiene 1 en todos los términos). El problema de buscar así es que se pueden despistar términos, como los que has encontrado. Pero, contestando tu pregunta, hay el mismo número de series de subida que de bajada, por lo que la serie original de cualquier dígito debería tender a tener el mismo número de términos de media. Podrías comprobarlo calculando cuántos términos tiene cada una de las 9 series de cada dígito. Mi predicción es que tendrán una distribución aleatoria.
A mi me dan las siguientes cantidades de términos:
Eliminar1 : 16
2 : 24
3: 12
4: 6
5: 6
6: 1
7: 1
8: 1
9: 1
Siempre buscando hasta 10^7
S:E:U.O
Como curiosidad, hasta el 671782:
ResponderEliminarexisten el mismo nº de números con un 3 y sin un 3.
existen el mismo nº de números con un 4 y sin un 4.
existen el mismo nº de números con un 5 y sin un 5.
Vicente iq.
Esta es una de las respuestas del problema que publiqué hoy :)
Eliminarlo siento, no lo leí. :(
EliminarVicente iq.
Otra curiosidad ligeramente diferente:
ResponderEliminarLa cantidad de 1's que contienen todos los números desde 1 hasta 199.981 es 199.981.
La cantidad de 2's que contienen todos los números desde 1 hasta 28.263.827 es 28.263.827. Y También 35.000.000.
Vicente iq.