Unos ejemplos de estas divisiones son los siguientes :
a) 1,2,15,16 - 3,4,13,14 - 5,6,11,12 - 7,8,9,10
b) 1,2,15,16 - 3,5,12,14 - 4,9,10,11 - 6,7,8,13
c) 1,4,13,16 - 2,3,14,15 - 6,8,9,11 - 5,7,10,12
¿Cuántas divisiones como estas son posibles?
Cuando empecé a buscar las soluciones pensé que había algunas pocas, pero me equivoqué, hay muchas mas de las que pensaba...
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1+12+15+16=44
ResponderEliminarCorregido, Gracias Carlos
ResponderEliminarSi no me he equivocado hay muchas, 392.
ResponderEliminarMe resulta muy interesante que se pueda hacer este tipo de particiones con grupos de números consecutivos.
Está claro que cualquier número n^2 permite este tipo de particiones. La suma que debe tener cada grupo de n dígitos es: RaizCuadrada[n] (n+1)/2.
Vicente iq.
Confirmado, hay 392 soluciones.
ResponderEliminarNo entiendo este comentario "Está claro que cualquier número n^2 permite este tipo de particiones. La suma que debe tener cada grupo de n dígitos es: RaizCuadrada[n] (n+1)/2.". ¿Lo puedes explicar un poco más?
ResponderEliminarEn cualquier grupo de números consecutivos desde 1 hasta n^2 podemos hacer n particiones de n números cada una y que cada partición tenga la misma suma. El resultado de la suma es el que he indicado.
Eliminarvicente iq.
y para ser más riguroso con la deducción de la fórmula de la suma de cada partición.
EliminarLa suma de los nºs de 1 a n^2 es:
n^2(1+n^2)/2
Este resultado es siempre divisible por n e igual a
n(n^2+1)/2
En el primer resultado que di, n se refería a n^2. Debería haberla sustituido por otra letra.
Vicente iq.
El número de soluciones para n = 1x1, 2x2, 3x3 y 4x4 es 1, 1, 2 y 392.
ResponderEliminarHe buscado en el OEIS si estaba la secuencia y no la encuentra, de modo que se podría calcular el número de combinaciones en el caso de 5x5 y proponerla.
Colegas ¿vislumbran alguna fórmula que relacione a n con el #de soluciones?
ResponderEliminarTengo alguna pista.
ResponderEliminarParece que este problema está relacionado con la forma de encontrar diferentes cuadrados mágicos de lado n utilizando todos los números desde 1 hasta n^2.
He llegado a esta conclusión calculando el nº de combinaciones distintas de n dígitos que suman lo mismo.
Los valores son:
para n = 3, 8
para n = 4, 86
para n = 5, 1394
para n = 6, 32134
Secuencia http://oeis.org/A052456
Por lo que parece que el # de soluciones está relacionado con el # de distintos cuadrados mágicos de orden n utilizando todos los nºs desde 1 hasta n^2.
puede ser un camino a seguir.
Vicente iq.
Siguiendo lo que he indicado antes he estado analizando el caso simple para n=3.
ResponderEliminarResulta que solo hay 2 soluciones distintas quitando las que se obtienen por reflexión y rotación de las 8 posibles. Esas 2 son las que indicaba Mmonchi para n=3.
Por lo que parece que la fórmula que se busca es la de obtener todos los cuadrados mágicos distintos, sin contar rotaciones ni reflexiones, de orden n utilizando los nºs desde 1 hasta n^2.
No hay métodos generales para generar cuadrados mágicos, además de que los métodos que existen parece que utilizan procedimientos distintos según n sea par o impar.
Vicente iq.
Corrección: las 2 soluciones que hay para n=3 no se corresponden a 2 cuadrados mágicos distintos de orden 3. Se corresponden a los valores horizontales y a los valores verticales del único cuadrado mágico de orden 3 que existe.
EliminarPara el caso de n=4, el valor 392 no sé a qué corresponde ya que hay 880 cuadrados mágicos distintos. Pero intuyo que debe haber alguna relación similar a la que hay para n=3.
Vicente iq.