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martes, 10 de diciembre de 2013
1268 - Probabilidades en el SET II
En uno de los comentarios de la entrada 1261 Probabilidades en el juego SET, Emilio preguntaba : ¿Cual es el la mayor cantidad de cartas que podemos poner en la mesa sin que se pueda formar un solo set?
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Creo que 2 cartas es el máximo.
ResponderEliminarVicente iq.
No es 2.
Eliminarvicente iq.
4 parece el máximo. No consigo usar una quinta. Cada carta es una columna con sus 4 características:
Eliminara1 a1 a2 a2
b1 b1 b2 b2
c1 c1 c2 c2
d1 d2 d1 d2
Vicente iq.
En teoría el máximo es 12.
ResponderEliminarSupongamos que tenemos las cartas 1 y 2. Llamamos 81 a la única carta que forma SET con 1 y 2. Cualquiera de las restantes 78 cartas no forma SET con 1 y 2.
Ahora llamamos 79, 80 y 81 a las cartas que forman SET con 1 y 3, 2 y 3, y 1 y 2, respectivamente. Cualquiera de las restantes 75 cartas no forman SET con 1, 2 y 3.
Si tenemos N cartas que no forman SET, podemos hacer N(N+1)/2 parejas, lo que da N(N+1)/2 cartas que no podemos usar.
Si tenemos 11 cartas que no forman SET, podemos hacer 11(12)/2=66 parejas, así que hay 66 cartas que forman SET con ellas. De este modo quedan 4 cartas (81-11-66=4) que no forman SET con las 11 primeras, luego podemos elegir como mínimo 12 que no hagan SET.
Quiero decir que el máximo es como mínimo 12. En la práctica dos pares de cartas diferentes pueden hacer SET con la misma tercera, y eso hace que en principio sea posible superar las 12.
EliminarUna solución con 16 cartas:
ResponderEliminar{0000,0001,0010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111}
Cada número de cuatro dígitos representa una carta, cada dígito una propiedad y cada valor (0,1,2) el valor de esa propiedad. Esta representación hace las 81 cartas coincidan con los números de 0 a 80 en base 3, lo que facilita su manejo.
Solución con 17 cartas:
ResponderEliminar{0000;0001;0100;0211;0222;1000;1012;1022;1120;1200;1202;1222;2012;2022;2121;2201;2202}
Con 20 cartas hay una probabilidad 0,00000000000015 de que no formen set.
ResponderEliminarCon 21 cartas, seguro que hay un set en la mesa.
A ver si alguien puede indicarme un grupo de 5 cartas que no formen ningún set.
ResponderEliminarVicente Iq.
Vicente, del mazo de 81 cartas elimina todas las de un mismo color (por ejemplo el rojo); de las que quedan elimina todas la de un mismo símbolo (por ejemplo el rombo); de las que quedan elimina todas las de un mismo número (por ejemplo el 3); y de las que quedan elimina todas las un mismo sombreado (por ejemplo rayado). Te quedan 16 cartas. Con estas 16 cartas es imposible hacer SET.
ResponderEliminarLa explicación es sencilla, no puedes encontrar tres cartas que tengan tres colores diferentes (siempre falta el rojo), ni tres símbolos diferentes (siempre falta el rombo) ni tres números diferentes (siempre falta el 3) ni tres sombreados diferentes (siempre falta el rayado). La única forma de hacer SET sería con los tres colores, los tres símbolos, los tres números y los tres sombrados iguales, pero para eso tendría que haber cartas repetidas, lo cual no es válido.
Mmonchi, mi razonamiento es que si nos fijamos en una sola propiedad que puede tener 3 valores distintos, supongamos 1, 2 y 3, con 5 cartas, o eligiendo 5 valores, seguro que formamos 3 iguales o 3 distintos.
ResponderEliminarPuedo elegir por ejemplo 1,1,2,2
si añado el 1 formo 1,1,1 (tres iguales)
Si añado el 2 formo 2,2,2 (tres iguales)
Si añado el 3 formo 1,2,3 (tres distintos)
Me cuesta entender tu razonamiento, no digo que estés equivocado.
Vicente iq.
Creo que el problema está en lo que es un SET: tienes que tener 3 iguales o 3 distintas en las cuatro propiedades, color, forma, número y sombreado. Lo que dices es cierto, con cinco cartas tienes tres que tienen 3 iguales o 3 distintas en cada una de las propiedades, pero no necesariamente en el mismo grupo de tres cartas.
EliminarPor ejemplo, si tomo tus cuatro cartas del comentario anterior, es decir,
a1 a1 a2 a2
b1 b1 b2 b2
c1 c1 c2 c2
d1 d2 d1 d2
que con mi nomenclatura serían {1111,1112,2221,2222}, es fácil encontrar que las únicas que hacen SET son [0000,0001,0002,1110,2220}. Cualquier otra no hace SET con ningún par de tus cartas. Por ejemplo, a0 b0 c1 d0 {0010} no forma SET con ningún par:
Con el par a1 b1 c1 d1, a1 b1 c1 d2 no forma SET porque tienes a0 a1 a1;
Con el par a1 b1 c1 d1, a2 b2 c2 d1 no forma SET porque tienes c1 c1 c2;
Con el par a1 b1 c1 d1, a2 b2 c2 d2 no forma SET porque tienes c1 c1 c2;
Con el par a1 b1 c1 d2, a2 b2 c2 d1 no forma SET porque tienes c1 c1 c2;
Con el par a1 b1 c1 d2, a2 b2 c2 d2 no forma SET porque tienes c1 c1 c2;
Con el par a2 b2 c2 d1, a2 b2 c2 d2 no forma SET porque tienes c1 c2 c2.
Siguiendo con tu nomenclatura, el par 1212 hace set con 2 de mis cartas. Concretamente con 1111 y 1112.
EliminarSuponiendo que lo haya entendido bien.
Al explicarme que "tienes que tener 3 iguales o 3 distintas en las cuatro propiedades" yo creía que era set con una cualquiera de las 4 propiedades.
Vicente iq.
Me imaginé que ese era el problema, que considerabas set si cumplía con alguna propiedad y no con las cuatro.
EliminarLas cartas 1111, 1112 y 1212 no hacen set porque cumplen la primera y la tercera propiedad (1, 1, 1) pero no la segunda (1, 1, 2) ni la cuarta (1, 2, 2).