El problema de la quiebra
Un hombre tiene deudas por $100, $200 y $300, pero muere con fondos insuficientes para pagarlas.
¿Cómo debe ser repartida su herencia, que proporción le corresponde a cada deudor?
Como todos sabemos, puede que haya mas de una respuesta correcta. División justa es un concepto que depende tanto de la lógica como de las costumbres sociales. Para ver por qué, considere las siguientes situaciones :
- Un padre promete regalos a sus hijos, pero tiene que retractarse cuando el premio recibido es menor de lo esperado
- Los asistentes a un restaurante ordenan distintos platos, y luego terminan discutiendo sobre la mejor manera de dividir la cuenta
No hay una sola manera de acercarse a cualquiera de estos problemas. Estas son peleas familiares y pleitos que vemos todos los días. El conflicto es una cuestión de perspectiva.
Algunas personas prefieren la división proporcional que depende del tamaño de la deuda. Un ejemplo es el clásico "cada uno paga lo suyo" donde cada uno de los clientes paga lo que pidió. Tan lógico como suena, no todos están de acuerdo con este método.
Otros prefieren dividir las cosas por igual. Ellos argumentan que es la persona, no el tamaño de la deuda lo que importa. La división equitativa es común especialmente entre las familias con niños pequeños. Durante la época de Navidad o las vacaciones, los padres pueden optar por dar a cada niño un mismo regalo, independientemente de la edad o el mérito.
Lo que es aceptado depende de la costumbres sociales. Lograr que todos estén de acuerdo es un ejercicio de persuasión, no de economía.
Una de las primeras discusiones de la división justa proviene del Talmud de Babilonia, (es una obra que recoge principalmente las discusiones rabínicas sobre leyes judías, tradiciones, costumbres, leyendas e historias). En el Talmud se discute un problema de quiebra en el contexto de un hombre que ofrece créditos a sus esposas en exceso de sus activos. La respuesta del Talmud no es inmediatamente evidente, y de hecho, la respuesta desconcertó a académicos por casi 2.000 años. Veamos el por qué.
La respuesta del Talmud
El talmud presenta tres ejemplos de división de bienes en los cuales el monto a repartir es de 100$, 200$ y 300$ y en los tres casos hay tres acreedores que reclaman las sumas de $100, $200 y $300 respectivamente .
El texto no contiene una regla general, que es lo que hace que estas respuestas aparentemente sean contradictorias.
- En el primer caso, cuando el monto a repartir es de $100, el Talmud dice que hay que darle $33 1/3 a cada uno de los acreedores. La división sugiere un principio de reparto equitativo, que es fácil matemáticamente y tiene un atractivo social. Pero extrañamente no es la misma idea utilizada en los otros casos.
- Para el tercer caso (de $300), el Talmud ofrece una división de $50, $100 y $150. Las matemáticas en este caso indican una división proporcional en función del tamaño de la deuda. En los tiempos modernos, la división proporcional tiene un gran atractivo entre los abogados y los economistas. En este punto cabe preguntarse ¿Por qué el caso de 300 es tratado de manera diferente que en el caso de 100?
Si esta pregunta le molesta, entonces prepárese para una sorpresa en la división de 200.
- En este caso, los $200 se deben dividir según el talmud en 50, 75 y 75. En este caso la división no es ni un reparto equitativo ni una división proporcional, sino que es simplemente una decisión diferente.
¿Por qué al segundo y al tercer acreedor se le da la misma cantidad de dinero?
¿Y de dónde vienen dichos números?
Antes de continuar, vale la pena resumir los repartos en una tabla. Podemos pensar en las respuestas del Talmud como una tabla que ilustra cómo se divide el dinero. Ofrezco una ilustración abajo, en la que las filas son los montos a repartir, las columnas lo que reclama cada acreedor, y las entradas de la tabla son el tamaño de la división.
Las respuestas han desafiado una explicación adecuada por casi 2.000 años, y se han escrito varios volúmenes tratando de explicar esta división. Inclusive algunos estudiosos han dicho que el caso de 200 podría ser un problema de transcripción defectuosa.
La teoría de juegos ofrece una respuesta
En la década de 1980, los profesores Robert Aumann y Maschler Michael escribieron un artículo en el que afirmaban haber resuelto el misterio.
Ellos sugieren que no hay falta de coherencia en la respuesta del Talmud. Aumann y Maschler demuestran que la respuesta del Talmud puede ser vista como una aplicación coherente de un principio de la teoría de juegos. ¿Por qué se utiliza la teoría de juegos?
Resulta que la respuesta del Talmud es la solución de un juego bien definido: la coalición. Aumann y Maschler explican el concepto en términos simples como un principio único y consistente: la división igualitaria de la cantidad reclamada en cuestión.
Resulta que la respuesta del Talmud es la solución de un juego bien definido: la coalición. Aumann y Maschler explican el concepto en términos simples como un principio único y consistente: la división igualitaria de la cantidad reclamada en cuestión.
Vale la pena ser escéptico antes de proceder. Es la explicación de una simple coincidencia? Después de todo, es probable que haya un número infinito de explicaciones que pueden producir la misma división.
Aumann y Maschler justifican su respuesta mediante el examen de otros pasajes del Talmud de los que se deduce el mismo principio.
División igualitaria de la cantidad en cuestión era al parecer una costumbre social y que ayudaría a explicar por qué podría parecer extraño para nosotros, pero podría haber sido natural para su cultura.
División igualitaria de la cantidad en cuestión era al parecer una costumbre social y que ayudaría a explicar por qué podría parecer extraño para nosotros, pero podría haber sido natural para su cultura.
A continuación voy a explicar el concepto de "reparto equitativo de la cantidad en cuestión," y describir por qué la respuesta Talmud lo demuestra.
Reparto equitativo de la cantidad en cuestión, dos personas
El Talmud examina una situación que podría haber sido común en esa época. Supongamos que dos personas están discutiendo sobre una prenda de vestir. Uno afirma que la mitad le pertenece, mientras que la otra dice que la prenda es de él. Se le pide a un juez que decida quién obtiene qué.
¿Qué haría usted?
¿Qué haría usted?
Hay varias respuestas, naturalmente. Se podría dividir mitad y mitad (1/2, 1/2) o una hacer una división proporcional (1/3, 2/3).
Pero el Talmud ofrece una respuesta diferente, una respuesta que resulta ser un reparto equitativo de la cantidad en cuestión (1/4, 3/4). ¿Cómo funciona esta ley? Hay tres etapas.
- En primer lugar, decidir qué porción de la tela está en disputa. En este caso, exactamente la mitad de la prenda está siendo reclamada por ambas partes.
- En segundo lugar, dividir lo disputado entre ambas partes, así que 1/4 de la tela se otorga a cada uno.
- Y en tercer lugar, dar el resto de la tela "indiscutible" parte-todo a la persona cuya solicitud no esta en discusión.
Esta lógica produce una separación de 1/4 para la persona que reclama la mitad de la prenda y 3/4 para la persona que reclama todo el conjunto.
Esta respuesta puede parecer extraña, pero hay que recordar que los métodos de división dependen de las costumbres sociales.
El mismo método puede ser utilizado para cualquier otro problema entre dos reclamantes, con los mismos tres pasos anteriores:
- Determinar qué parte es impugnada o reclamada por ambas partes
- Dividir la parte reclamada por igual
- Asignar la parte no reclamada, a la única persona que lo reclama
¿Cómo puede ser aplicado este principio? En realidad, se puede aplicar a muchas situaciones, como cuando las demandas son mayores que los activos que se dividen, como en el caso de división de una finca.
Reparto equitativo de la cantidad en cuestión, dos acreedores
Merece la pena ir a través de algunos ejemplos para tener mas clara la idea.
Vamos a examinar cómo dividir los bienes de varios tamaños entre dos acreedores que reclaman 100 y 300.
Vamos a examinar cómo dividir los bienes de varios tamaños entre dos acreedores que reclaman 100 y 300.
Ejemplo 1: (bienes 66 2/ 3)
Si el patrimonio es 66 2/ 3, entonces toda la finca es controvertida. La división debe ser 33 1/3 para cada uno.
Ejemplo 2: (bienes 125)
Si la finca es de 125, entonces los primeros 100 son reclamados por ambas partes y por lo tanto dividido en partes iguales. Los 25 restantes es totalmente adjudicado al que demanda 300. Por lo tanto, la división es de 50 y 75.
Ejemplo 3: (bienes 200)
Por último, si la finca es de 200, de nuevo los primeros 100 son reclamados por ambas partes y dividido en partes iguales. Los restantes 100 son totalmente adjudicados al demandante de 300. Por lo tanto, la división es de 50 y 150.
Aquí están las divisiones en forma de tabla:
¿Por qué parar ahí? He aquí algunos ejemplos cuando las demandas son (100, 200) y (200, 300). Tenga en cuenta que estos son los pares restantes de las reclamaciones de la división de tres personas que está motivando este artículo.
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Como explicar el enigma del Talmud
Volvamos a la división del Talmud para los tres acreedores. En el caso de una finca de 200, la división fue de 50, 75 y 75 para los que demandaban 100, 200 y 300 respectivamente.
Para analizar esta respuesta, vamos a hacer el siguiente ejercicio. Tome cualquiera de los dos acreedores y piense en cómo dividir el dinero total adjudicado. ¿Por qué haríamos eso? Se trata de una verificación de la consistencia . Tiene sentido que para un par de acreedores el monto sea dividido de una manera consistente con la forma en que se divide una prenda de vestir en disputa.
Tomemos por ejemplo el par de acreedores que reclaman 100 y 200. En conjunto, se les otorga un suma de 125. ¿Cómo hay que dividir la suma? Se divide en 50 y 75. Y, sorprendentemente, coincide con el trabajo que hicimos en los ejemplos anteriores: la respuesta es coherente con un reparto equitativo de la cantidad en cuestión!
La lógica es que los primeros 100 son reclamados por ambas partes y divididos en partes iguales, y el resto 25 se le otorga al demandante de 200.
La lógica es que los primeros 100 son reclamados por ambas partes y divididos en partes iguales, y el resto 25 se le otorga al demandante de 200.
De hecho, la misma observación se puede ver a la hora de considerar los otros pares de acreedores. Fijense en la cantidad que reciben lo que reclaman 100 y 300 . En conjunto, recibirán una suma de 125, y esta se divide en 50 y 75. Una vez más, esta respuesta es consistente con un reparto equitativo de la cantidad en cuestión.
Por último, considere la recompensa total de las partes que reclamaban 200 y 300 . En este caso, la suma total de 150 se divide en un 75 a cada uno. Como la suma total es menor a la menor reclamada, esta refleja una vez más una división igual de la cantidad en cuestión.
En otras palabras, cuando la misteriosa solución Talmud se divide por parejas de acreedores, hay un principio consistente. Creo que es bastante notable.
Aumann y Maschler demuestran que el método puede ser extendido, si las reclamaciones son por tres acreedores, un centenar de acreedores, o incluso un millón de acreedores. La misma condición debe cumplirse: los activos se dividen de tal manera que la cantidad recibida por cualquiera de las dos personas refleja el principio de reparto equitativo de la cantidad en cuestión . Por otra parte, la división es una solución única.
Un algoritmo
Es bueno ver que las divisiones son equitativas para las cantidades reclamadas.
Pero, ¿cómo encontrar estas divisiones?
Pero, ¿cómo encontrar estas divisiones?
Aumann y Maschler muestran que en realidad es sólo una división que es consistente. Y esta respuesta puede ser descrita por el siguiente algoritmo de siete pasos:
- Ordene los acreedores en base a sus reclamos de menor a mayor.
- Divida el monto en partes iguales entre todas las partes hasta que el menor acreedor recibe la mitad de lo que demanda.
- Divida el monto restante en partes iguales entre todos los acreedores,(sin tener en cuenta ahora a el menor acreedor) hasta que el siguiente menor reciba la mitad de su demanda.
- Continúe hasta que cada acreedor haya llegado a la mitad de su demanda original.
- Ahora, a la inversa. Empezar a dar el dinero al más alto demandante hasta que la pérdida , la diferencia entre lo que demanda y lo que recibe, sea igual a la pérdida para el acreedor más alto.
- Luego divida el monto en partes iguales entre los más altos acreedores hasta que la pérdida del más alta acreedor sea igual a la pérdida del demandante más alto siguiente.
- Continúe hasta que todo el dinero haya sido repartido.
Así es como las reclamaciones se pueden dividir en el ejemplo del Talmud:
Misterio resuelto? Creo que sí. No sólo las respuestas del Talmud siguen un principio constante, sino que también se basan en una idea que era una costumbre social.
En ese caso, sin duda es un caso interesante que una herramienta de la lógica y la racionalidad, la teoría del juego fuera necesaria para decodificar la solución al problema del Talmud, que todo dependía de las costumbres sociales.
Traducción del artículo : How Game Theory Solved a Religious Mystery
Estada entrada participa del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Gaussianos
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