lunes, 30 de junio de 2014

1329 - Resultados de la primera fase de un mundial

Hace cuatro años aproximadamente publiqué un problema en este blog titulado 69 - Resultados de la primera fase en el que preguntaba cuantas tablas de posiciones diferentes podían lograrse en una zona de cuatro equipos como las que hay en los mundiales. Habiamos obtenido junto a Pablo Sussi alrededor de 38 tablas diferentes.
El otor día leí un artículo en el blog Puzzlezapper en el que planteaba este mismo problema y logra la solución utilizando Grafos orientados :


La interpretación es la siguiente, cada punto es un equipo, las flechas indican que el equipo del cual salen ganó el partido, sino hay arista entre dos puntos indica que dichos equipos empataron, y los números de abajo los puntos obtenidos por cada uno de los equipos.

La cantidad total de grafos orientados es 42 , pero hay 40  grupos de resultados distintos ya que hay dos tablas (7-4.4.1 y 6.4.4.3) que se pueden formar de dos formas distintas, es decir que hay dos resultados que se pueden obtener con dos grafos diferentes.
     El autor del artículo nos cuenta que en el mundial 2010  no se repitió ninguna tabla en las ocho zonas de la primera fase y se pregunta que tan extraño es esto.

En primer lugar, nos cuenta, hay que tener en cuenta que cada grafo no tiene la misma probabilidad de aparecer, así por ejemplo el gráfico superior de la izquierda (9.6.3.0) que no tiene simetría puede ocurrir en una zona tantas veces como permutaciones haya de los cuatro equipos o sea 4!= 24, ya que en teoría cualquiera de los 4 equipos puede salir primero, cualquiera de los tres restantes puede salir segundo y asi sucesivamente, en tanto que el grafo mas simetrico que es el de abajo a la derecha (3.3.3.3) puede ocurrir de una sola forma en una zona (todos los partidos terminan empatados)
En general a mayor simetria del grafo, menor es el numero de formas de obtenerlo.

 Contando los resultados que pueden conseguirse con dos grafos, hay 2 tablas que pueden alcanzarse de 36 maneras, 21 que se pueden formar de 24 maneras, 9 que se forman de 12 maneras, 3 de 8 maneras, 2 de 6 maneras, 2 de 4 maneras y 1 que se alcanza de una sola manera. Si sumamos todas las variaciones obtenemos 729 = 36, que es el número en que seis partidos pueden darse.
Haciendo las cuentas nos da que para que en las ocho zonas se den 8 tablas diferentes la probabilidad es de alrededor del 40%.

Este año hubo dos zonas en las que se repitió la tabla de posiciones  


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