Se denomina a cada término como Fn .
Así F0 = 0, F1 = 1, F2 =1, F3 = 2, etcétera.
La idea para este puzzle es cambiar los primeros dos términos de la serie de forma tal que uno de los términos de la secuencia tenga un valor dado.
Por ejemplo hay 5 secuencias tipo Fibonacci que tienen a 10 como uno de sus términos:
Tres de 3 términos :
1, 9, 10
2, 8 ,10
3, 7, 10
Una de 4 términos
0, 5, 5, 10
Una de 6 términos
0, 2, 2, 4, 6, 10
Siendo la secuencia mas larga esta última.
Las secuencias no pueden tener valores negativos y, si puede tener un elemento menor debe estar presente en la secuencia (es decir que 4, 6, 10 no es una secuencia válida porque se puede agregar tres términos mas por la izquierda)
¿Cuántas secuencias tipo Fibonacci hay tal que 100 sea uno de sus términos?
¿Cuál es la mas larga?
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Encuentro lo siguiente:
ResponderEliminarEn teoría, la secuencia más larga podría tener hasta 11 elementos. Al ser el elemento 11:
34x+55y
donde "x" e "y" son el valor del primer y segundo elemento de la secuencia respectivamente.
Pero no podemos obtener 100 con esa combinación dando valores a x e y.
El valor más alto a donde podemos llegar es al elemento 7:
5x+8y
Con valores para x e y de 4 y 10 respectivamente.
La secuencia más larga sería:
4,10,14,24,38,62,100
El total de secuencias que encuentro es de 74.
Vicente iq.
Los invitados a la serie 11 ,19 del enunciado ¿son una pista?. también creo que la mayor serie es la de 7 elementos.
ResponderEliminarSi te referis a la que tenga algun Fx=10, la unica forma de llegar a 10 es haciendo
EliminarF0=0, F1=a, F2=a, F3=2a, F4= 3a, F5=5a, F6=8a
Donde 10 solo puede llegar a ser a, 2a, 0 5a (los ejemplos)
Otra forma es haciendo
F0=a, F1=b, F2=a+b, F3= 2b+a, F4=3b+2a, F5=5b+3a
Donde 10 solo puede llegar a ser a, b, a+b, 2b+a, 3b+2a
en ningun tipo de sucesion se llega a F6=10
Siguiendo la misma logica de mi comentario anterior, tenemos que 100 solo puede ser a(Fx) o en caso contrario, de la forma xa+yb (segun Fx)
ResponderEliminarCaso 1)
El mayor divisor de 100 que es numero de fibonacci es 5, luego 100 es el 6to termino
Caso 2)
100 es una ecuacion diofantica de ax+by
El mayor valor posible es 55x+89y
imposible para x,y naturales
El siguiente es 34x+55y
imposible para x, y naturales
El siguiente es 21x+34y
imposible para x, y naturales
El siguiente es 13x+21y
imposible para x, y naturales
El siguiente es 8x+13y
imposible para x, y naturales
El siguiente es 5x+8y
Luego, x=4, y=10
Es decir, 100 es el 8vo termino (F7) de la sucesion determinada por
F0=0, F1=4, F2=10, Fn=F(n-1)+F(n-2)
F0=0
F1=4
F2=10
F3=14
F4=24
F5=38
F6=62
F7=100
Francisco, la sucesión no puede comenzar por 0,4,... porque sería:
Eliminar0,4,4,8,12,.....
Vicente iq.