870 - Como obtener ecuaciones multigrados

El otro día publiqué esta igualdad:

14ⁿ + 16ⁿ + 45ⁿ + 54ⁿ + 73ⁿ + 83ⁿ = 3ⁿ + 5ⁿ + 28ⁿ + 34ⁿ + 65ⁿ + 66ⁿ + 84ⁿ

^{Esta igualdad se da para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

que tuvo mucha repercusión gracias a que el blog de matemáticas Gaussianos publicó un enlace a dicha entrada. Como mucha gente se sorprende al ver este tipo de igualdades daré una breve explicación de como lograrlas basado en un método que publicó Brian Bolt en su libro actividades matemáticas.

En primer lugar, buscamos una igualdad que tenga dos términos por lado, por ejemplo:

(1)  1+8 = 3+6

Lo que hacemos ahora es sumar un mismo número a cada número que aparece en la igualdad, sumemos por ejemplo cuatro, así (1) se transforma en

(2) 5+12 = 7+10

Lo que hay que hacer ahora es invertir esta igualdad y sumarla a la anterior:

                  7+10  =  5+12
              +
                   1+8  =  3+6  
     -----------------     ------------------
(3) 1n+7n+8n+10n = 3n+5n+6n+12n

Esta ecuación (3) es lo que se llama una ecuación multigrado de grado 2, ya que
la igualdad se cumple para n=1 y para n=2
Efectivamente
para n = 1: (4)     1+7+8+10  = 3+5+6+12      =  26
para n = 2:      12+72+82+102 = 32+52+62+122  = 214

Si queremos obtener una ecuación multigrado de grado 3, solo tenemos que repetir la operación anterior, es decir sumar a cada número de (4) un mismo número invertir los términos del resultado y sumar las dos igualdades.

Sumemos a cada número de (4) por ejemplo el seis, así .
(4) 1+7+8+10  = 3+5+6+12
pasa a ser
(5) 7+13+14+16 = 9+11+12+18
invertimos (5) y la sumamos a (4) .

(4)                  1+7+8+10       =  3+5+6+12
                      9+11+12+18  =  7+13+14+16
------------------------------------ ---------------------------------

(6) 1+7+8+9+10+11+12+18 =  3+5+6+7+12+13+14+16
En este caso vemos que a ambos lado de (6) aparecen el 7 y el 12, por lo tanto los podemos eliminar y nos queda :

(7) 1+8+9+10+11+18 =  3+5+6+13+14+16
Que es una ecuación de grado 3 o sea :
(8) 1n+8n+9n+10n+11n+18n =  3n+5n+6n+13n+14n+16n  para n=1,2,3
Efectivamente si n =1 la suma da 57, para n= 2 da 691 y para n=3 la suma da 9405

Este proceso se puede repetir una y otra vez para obtener ecuaciones de grado mayores como la que aparece en la entrada 864.

Ahora bien ¿porque funciona el método?, yo solamente lo voy a demostrar para le ecuación de grado 2, dejo para que otros lo demuestren para grados mayores :

Partimos de
(1) a+b = c+d, a cada número de esta ecuación le sumamos un mismo número x, así

(2) (a+x) + (b+x) = (c+x) + (d+x)

Invertimos (2) y se lo sumamos a (1)

(3) a+b+(c+x) + (d+x) = c+d +(a+x) + (b+x)
Hay que demostrar que (3) es una ecuación multigrado de grado 2 o sea que :
an+bn+(c+x)n + (d+x)n = cn+dn +(a+x)n + (b+x)n para n = 1,2

Para n = 1
a+b+(c+x) + (d+x) = c+d +(a+x) + (b+x) o sea que
a+b+c+d+ 2x = a+b+c+d +2x

Para n=2
a2+b2+(c+x)2 + (d+x)2 = c2+d2 +(a+x)2 + (b+x)2
Desarrollando los cuadrados :
a2+b2+c2+2cx+x2+d2+2dx+x2 = c2+d2+a2+2ax+x2+b2+2bx+x2
reordenando y eliminando los términos que se repiten a ambos lados de la ecuación
2cx +2dx = 2ax + 2bx
2x(c+d) = 2x(a+b) y según (1) a+b=c+d, nos queda
2x = 2x que evidentemente es una igualdad

Como ven no es díficil obtener este tipo de ecuaciones, lo díficil es obtener una de grado muy alto que tenga pocos términos por lado. 

Casualmente el otro día apareció una de grado ocho en el blog Futility Closet.

Esta entrada forma parte de la edicióm 3.1 del  Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza Scientia potentia est

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