1458 - Variante de un puzzle

Carlos Rivera publicó en su siempre interesante site Prime Puzzles el siguiente problema de Jean Brette : colocar en un grilla de 3x3 números primos tal que las diferencias entre dos números contiguos sean todas diferentes. (se consideran 18 diferencias ya que se toman como contiguos los números de los extremos, tanto los horizontales como los verticales).

Una solución que yo encontré es la siguiente :

 

 Basado en este problema se me ocurrió el siguiente : 
¿Es posible colocar en una grilla de 3x3 números comprendidos entre 1 y 27 tal que considerando los números colocados y sus 18 diferencias obtengamos todos los números entre 1 y 27?

Encontrar una solución o demostrar que es imposible.
A modo de ejemplo les pongo una grilla que yo encontré que solo repite dos números:

Como verán se repiten el 3 y el 12 y faltan el 9 y el 24 

Actualización: Carlos Feinstein me manda la siguiente solución:

Actualización II: Dmitry Kamenetsky mandó a traves de Carlos Rivera además de la solución de Carlos Feinstein otrs dos para grillas de 3x3, y soluciones para n=4 y n=5

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1458 - Variante de un puzzle

1457 - Estrategia para salvarse

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1457 - Estrategia para salvarse

1456 - La entrada 1130 de este blog

Hace mas de tres años publiqué lo siguiente :

1130 - Los números del 1 al 100

Nueve de los diez primeros números se pueden acomodar de la siguiente manera:

 8 - 4 - 2 - 6 - 3 - 9 - 1 - 5 - 10

De forma tal que cada número o es múltiplo o es divisor de sus vecinos. Yo no encontré forma de acomodar los diez primeros números.

La idea es lograr con esta regla formar la cadena mas larga posible con los números del 1 al 100 inclusive.
Yo tengo una solución de mas de 70  y menos de 80 números, pero seguramente ustedes mis queridos lectores podrán superarla.

¿Existe una regla que nos permita calcular cuál es el número máximo de términos que se pueden colocar cuando los números van del 1 a N?

Por ejemplo para 
N= 2,  1-2
N =3,  3-1-2
N =4,  3-1-2-4
N =5,  el cinco no se puede agregar, o si se agrega hay que sacar el tres
N =6,  5-1-3-6-2-4
etcétera.


Este problema había aparecido hace unos cuantos años en el excelente blog 3decas de merfat (lamentablemente ya no se actualiza), donde está mi solución  

Aquí va mi solución, a ver si alguien puede mejorarla :

Los 23 números que no figuran son: 37, 41, 43, 47,51,53, 59,61, 65, 67, 71, 73, 74,77, 79, 82, 83, 86, 89, 91, 94, 95, 97

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1456 - La entrada 1130 de este blog

1455 - Suma de factores con igual producto, consecutivos

Veamos los siguientes ejemplos :

Encontrar los menores números con 4, 5,...n sumas de factores que generan números consecutivos.

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1455 - Suma de factores con igual producto, consecutivos

1454 - Sumando los factores primos

En esta ocasión tomamos un número compuesto y le sumamos sus factores primos (con repetición), si el número obtenido es compuesto repetimos el procedimiento hasta encontrarnos con un número primo.

Ejemplo :
16 = 2x2x2x2, entonces el 16 genera 16+2+2+2+2 = 24
24 = 2x2x2x3, entonces el 24 genera 24+2+2+2+3 = 33
33 = 3x11      , entonces el 33 genera 33+3+11 = 47
Como el 47 es un número primo no podemos seguir.

Los que más números generan :
2: 6
3: 8
4: 16
5: 32
7: 45
8: 60
11: 66
13: 129
21: 183 

El 183 genera 21 números: 183,247,279,316,399,428,539,564,618,726,753,1007,1079,1175,1232,1258,1314,1395,1437,1919 y 2039

¿Cómo sigue la serie?

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1454 - Sumando los factores primos

1453 - Números Tau

Los llamados números Tau son aquellos que al dividirse por su número de divisores dan un número entero.
Puede verse la definición aquí A033950 y el listado de los primeros 10000 de estos números aquí.

El año en curso, 2016, es uno de estos números ya que la cantidad de divisores de 2016 es 36, y 2016/36 = 56.

Si le restamos a 2016 su número de divisores, 36, obtenemos 1980, el cual también es un número Tau.
Procedemos de igual manera con los números obtenidos mientras obtengamos un número Tau.
2016 (36) --> 1980 (36) ---> 1944 (24) ---> 1920 (32) y ahí termina la cadena ya que 1888 no es un número Tau.

Podemos decir que 2016 genera (contandose a si mismo)  cuatro números Tau.

¿Cuál es la cadena mas larga de números Tau que aplicando esta metodología se puede encontrar?

English version :  Tau numbers

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1453 - Números Tau

1452 - Reemplazando

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1452 - Reemplazando

1451 - ¿Cuántas soluciones?

Del libro de Clement Wood, "Book of Mathematical Oddities"

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1451 - ¿Cuántas soluciones?

1450 - Multiplos con todos los dígitos

Encontrar para cada primo la secuencia de múltiplos de dicho primo, cuya suma sea menor y que contenga cada uno de los dígitos del 0 al 9 una y solo una vez

Ejemplos de dichas secuencias (no sé si son los de menor suma) :

Para 2 :  14, 36, 58, 70, 92. Suma = 270
Para 3 :  12, 39, 48, 57, 60. Suma = 216
Para 5 :  12345, 67890      . Suma = 80235
Para 7 :  63, 70, 189, 245  . Suma = 567
Para 11: 165, 704, 2398    . Suma = 3267

Son estas las menores sumas? 
Buscar las secuencias para los siguientes números primos

Actualización : Mmonchi y Vicente encontraron los siguientes valores :

Para 3: 6, 9, 18, 27, 30, 45 (135)
Para 5: 13685, 24790 (38475) Mmonchi
Para 7: 7, 28, 49, 63, 105 (252) Mmonchi
Para 11: 264,539,1078 (1881)  Vicente
Para 13: 26, 78, 195, 403 (702) Mmonchi
Para 17: 34, 85, 102, 697 (918) Mmonchi
Para 19: 19, 76, 285, 304 (684) Mmonchi
Para 23: 46,92,713,805 (1656) Vicente
Para 29: 493,580,1276 (2349) Vicente.
Para 31: 372,496,1085 (1953) Vicente.

English Version :Multiples with all the digits

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1450 - Multiplos con todos los dígitos

1449 - Tenis

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1449 - Tenis

1448 - Cadenas de primos complementarios

Llamemos complemento de un número positivo al siguiente procedimiento: se toma cada dígito por su valor posicional y se resta del mayor los otro dígitos.
Ejemplo para 
1448 = 1000 + 400 + 40 + 8
Complemento (1448) = 1000 - 400 - 40 - 8 = 552

639 = 600 +30 + 9 
Complemento (639) = 600 - 30 - 9 = 561

Ahora bien para primos mayores a 11 hay muchos primos cuyo complemento también es primo.
Estos complementos primos a su vez pueden llegar a generar nuevos primos al calcular su complemento.
Ejemplo  643 --> 557 ---> 443 y aquí termina ya que 443 genera el 357 que no es primo

La idea es entonces formar la cadena mas larga posible de primos empezando por un primo:

7 primos :   18127 - 1873 - 127 - 73 - 67 - 53 - 47  
8 primos :   18181213 - 1818787 - 181213 - 18787 - 1213 -787 - 613 - 587

Obviamente cuento como uno los primos que se generan a si mismos (los menores de 10) 

La idea es entonces encontrar la cadena mas larga posible

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1448 - Cadenas de primos complementarios

1447 - Suma de Residuos

Tomemos cualquier número, por ejemplo el número de esta entrada, 1447.
Calculemos los residuos (restos) al dividirlo por los números del 1 al 9 : 0,1,1,3,2,1,5,7,7
Sumemos dichos restos = 0+1+1+3+2+1+5+7+7 = 27
Llamemos a dicha suma SdR, o sea SdR(1447) = 27

Apliquemos ahora SdR a los números primos:
Asi tenemos que 
SdR (2) =14
SdR (3) =19
SdR (5) = 24
etcétera

Ahora bien ocurre que  SdR(29) = SdR(31) = 21 , es decir que 29 y 31 son los dos menores  números primos consecutivos que poseen el mismo SdR.
Investigando un poco encuentro que los tres menores primos consecutivos con igual SdR son 6449, 6451 y 6469, ya que SdR(6449) = SdR(6451) = SdR(6469) = 21

Así los primos menores de un grupo de n primos consecutivos con el mismo SdR son

n = 2 :  29
n = 3 :  6449


Encontrar los  primos para n>3 (que los hay)

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1447 - Suma de Residuos

1446 - Domino Domino Logic

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1446 - Domino Domino Logic

1445 - Particionando un número

¿Cuál es el menor número que puede particionarse  de cuatro formas diferentes en tres términos todos con el mismo producto? 

Ejemplo : 

N = A+B+C

N = D+E+F

N = G+H+I

N = J+K+L

y AxBxC = DxExF = GxHxI = JxKxL 

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1445 - Particionando un número

1444 - Completando las ecuaciones

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1444 - Completando las ecuaciones

1443 - Extensión del problema anterior

La idea es buscar la secuencia formada por las menores sumas de las secuencias que contengan exactamente P múltiplos del primo P, empezando por la que tiene dos y solo dos múltiplos de dos, seguida por la que tiene dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos  de tres, etc .

Esta secuencia comienza así : 6, 32, 20 ya que

- La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos es 6  (2,4)

- La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos de tres es 32 y la secuencia es 2,6,9,15

¿Cómo continuaría este secuencia? 

Correción:  La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos de tres es 20 (2,3,6,9) y no 32 

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1443 - Extensión del problema anterior

1442 - Championnat International FFJM 2015

Encontrar un conjunto de números enteros positivos todos distintos con suma ≤ 2015, tal que:
- 2  y sólo 2 de ellos son divisibles por 2,
- 3  y sólo 3 de ellos son divisibles por 3,
- 5  y sólo 5 de ellos son divisibles por 5,
- 7  y sólo 7 de ellos son divisibles por 7,
- 11  y sólo 11 de ellos son divisibles por 11,
Entre todos los conjuntos de enteros  que cumplen estas condiciones, encontrar aquél en que la suma de los términos es mínimo.

Un problema del Championnat International FFJM 2015

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1442 - Championnat International FFJM 2015

1441 - Casi pi

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1441 - Casi pi

1440 - Generando primos

Tomemos cualquier número mayor a 3, multipliquémoslo por 2 y al resultado restémosle 3. 
Si el número obtenido es primo, repitamos esta operación.

Por ejemplo si empezamos con el 5 : 
5 x 2 - 3 = 7
7 x 2 - 3 = 11
11 x 2 - 3 = 19
y no podemos seguir ya que el próximo es 19 x 2 - 3 = 35 que no es primo.

Buscando hasta mil obtenemos esta secuencia en la que a(n) es el menor número que genera n primos al realizar estas operaciones : 11, 7, 5, 4, 8, 283, 143, 913

Si restringimos la condición de que los números originales sean también primos obtenemos esta otra secuencia:
11, 7, 5, 13, 563, 283, 1823

Su misión, si quiere aceptarla, es continuar cualquiera de estas dos series

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1440 - Generando primos

1439 - Aumentar 2016 veces el producto

Tengo 13 factores  que me dan un producto P.
Si a cada uno de los 13 factores los aumento en una unidad, el nuevo producto es P x 2016
¿Cuáles son esos factores?


Para que se entienda mejor va un ejemplo en el que el producto aumenta 2015 veces y los factores son 14:

 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  2 x 4 x 30 x 64  = 15360
 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x  3 x 5 x 31 x 65 = 30950400                                                                                    = 15360 x 2015

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1439 - Aumentar 2016 veces el producto