¿Si en la posición 2014 está el 2014, cuál es el mayor número de la serie?
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lunes, 25 de agosto de 2014
1348 - Números en fila
Tengo varios números en una fila, el primero es el uno (que original), los siguientes son uno menos que el promedio de sus vecinos.
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Claudio
ResponderEliminarCuando dices "vecinos" ¿Te refieres a los "vecinos inmediatos a izquierda y derecha"?
De ser así, el primer término de la serie queda fuera de esta definición, puesto que no tiene vecino a la izquierda. ¿Es así?
Bajo la premisa de que son ciertas mis suposiciones arriba preguntadas a ti, Claudio, la respuesta es que el mayor número de la serie es 2014, siendo los primeros 5 términos de la misma los siguientes enteros: 1, -2010, -4019, -6026, -8031,...
ResponderEliminarDicha serie presenta un mínimo en el término 1007 que es -1012035 y a partir de ahí empieza a crecer hasta llegar en el término 2014 al valor 2014.
Todavía no comprendo por qué ocurre esto, pero mi tabla Excel da cuenta de ello, sin lugar a dudas.
Por supuesto después de el término 2014, la serie parece crecer indefinidamente.
EliminarUn poco de álgebra.
ResponderEliminarPodemos tener cualquier serie de este tipo definiendo los 2 primeros términos de la serie.
Tomemos la serie: a,b,c,d,e,f,.... donde se cumple la condición de Claudio.
Luego b=(c+a)/2-1; c=(d+b)/2-1; d=(e+c)/2-1, etc.
Podemos poner cualquier término de la serie en función de sus 2 primeros términos(a y b).
1er término: a
2o término: b
3er término: 2-a+2b
4o término: 6-2a+3b
5o término: 12-3a+4b
6o término: 20-4a+5b
7o término: 30-5a+6b
.....
Si generalizamos vemos que la sucesión 2,6,12,20,30 es del tipo n(n+1).
Por lo que el término k será:
(k-2)(k-2+1)-(k-2)a+(k-1)b
Simplificando queda:
2+2a-b-3k-ak+bk+k^2
O sea, teniendo a y b podemos conocer la posición de cualquier valor de la lista.
En el ejemplo de Claudio a=1 por lo que queda:
2+2-b-3k-k+bk+k^2 y simplificando:
4-b-4k+bk+k^2
Si sustituimos el valor de k por 2014, porque es el valor de la posición 2014,
obtenemos que el segundo término de la lista es el -2010 que indica Carlos.
Ahora para obtener cualquier resultado la fórmula, sustituimos b por -2010 y queda como:
4-(-2010)-4k+(-2010k)+k^2 y simplificando
2014-2014k+k^2
A partir de esta fórmula es fácil ver el comportamiento.
Vicente iq.
Mi serie solo usa números positivos
Eliminar1014050.
ResponderEliminarGracias Vicente. Con tu desarrollo algebráico ya explicaste mi solución; ahora falta ver cómo le hizo Claudio para obtener 2014 en la posición 2014 empleando sólo números positivos.
ResponderEliminarDe hecho, la ecuación inferida por Vicente, dice que es imposible que todos los términos de la serie sean positivos; así que resulta doblemente interesante la respuesta de Claudio, quien dice que su serie "solo usa números positivos".
EliminarMmonchi contestó correctamente, y para aclarar mi serie es simétrica, claro que si la prolongo mas allá del segundo uno (posición 2015) empiezan los números negativos
ResponderEliminarRespondí correctamente porque mi serie es 1, 2014, 4025, 6034, 8041, 10046... cuyos términos son uno MÁS que la media de sus vecinos.
EliminarMe imaginé que era eso lo que querías decir, porque es ese término, el 1 que se suma o se resta, el que da la curvatura de la función. Para que los términos fueran positivos ese término tenía que ser positivo, así que hice lo mismo que Vicente iq. pero poniendo +1 en la fórmula y salió que el término k-ésimo es -2014+2016k-k^2.
Algo me perdí? Porque 2014 no es el promedio menos uno de 1 y 2015.
ResponderEliminarQuise decir "Algo me perdí? Porque 2014 no es el promedio menos uno de 1 y 4025"
EliminarCarlos, como dice Mmonchi, él ha calculado el promedio MÁS 1, no MENOS 1.
ResponderEliminarVicente iq.
Claudio: Pero ese no es el problema que tú planteaste. Así que vuelvo a la pregunta: ¿Cuáles son los tres primeros términos de el problema planteado, que tu dices que son todos positivos?
ResponderEliminarEs verdad, yo calculé la serie para uno mas que el promedio de los vecinos y puse en el enunciado uno menos. Ahora lo que no entiendo es porque Mmonchi obtuvo mi serie. Pido disculpas por la confusión
EliminarComo dijo Sherlock Holmes, «Cuando todo aquello que es imposible ha sido eliminado, lo que quede, por muy improbable que parezca, es la verdad». Supuse que te habías equivocado. ;-)
EliminarClaudio: Gracias por responder directamente la cuestión; si no lo haces de ese modo abres una incertidumbre difícil de procesar, claro, para los que no nos apellidamos Holmes... ;-)
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