11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + ..... + 999998999998 + 999999999999 + 10000001000000
¿Cuál es el último dígito de esta suma?
Bonus : ¿Después de sumar que término aparece por primera vez dicho número como último dígito de la suma?
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el ultimo numero es el 5.
ResponderEliminarel bonus no entendi bien la pregunta.
Matías: a mi me da otro dígito. ¿Cómo llegaste a ese valor?
ResponderEliminarEl bonus: Si la suma general termina con n, decir después de sumar qué término el último dígito es n por primera vez
En tu caso (5) sería al sumar el segundo término: 1^1+2^2 = 1+4 = 5
El último es el 0 porque el ultimo digito de los primeros 10 términos se repite 100.000 veces.
ResponderEliminarLa primera vez aparece despues del término 15
Mi deducción contiene errores, eso no quiere decir que tal vez igualmente sea el 0 , pero no está bien deducido.
ResponderEliminarPablo: los primeros 15 últimos dígitos son :
ResponderEliminar1 4 7 6 5 6 3 6 9 0 1 6 3 6 5 y la suma da un número que termina en 8. El último dígito no se repite cada 10.
Justo te contesté antes de que me llegue el último comentario...
ResponderEliminarAhora si, efectivamente es el cero, los números se repiten cada 40, y por lo tanto en 1.000.000 entran 25000 veces. me queda cual es el primer cero
ResponderEliminarEl último dígito de esta suma es el 0 (cero)
ResponderEliminarEn la 1ª decena de sumandos vemos:
1^1 + 9^9 =387420490 Termina en cero
2^2 + 8^8 = 16777220 Termina en cero.
3^3 + 7^7 823570 Termina en cero
10^10 = Termina en cero
5^5 = 3125 Termina en 5
4^4 + 6^6 = 46912 Termina en 2
Luego la suma de la 1ª decena de sumandos = Termina en 5+2 = 7
Para saber en que digito termina la suma de la decena nª, hacemos
2^(10n+2) + 8^(10n+8) = 2^(10n+2) + (10-2)^(10n+8)
El último dígito será el último dígito de 2^(10n+2) + 2^(10n+8) =
2^(10n) • (2^2 + 2^8) = como 2^2+2^8 Termina en cero el producto termina en cero.
Análogamente con el resto de parejas hacemos:
3^(10n+3) + 7^(10n+7) = 3^(10n+3) + (10-3)^(10n+7)
3^(10n) • (3^3 - 3^7) = como 3^3 -3^7 =-2160 Termina en cero el producto termina en cero.
4^(10n+4) + 6^(10n+6) = 4^(10n+4) + (10-4)^(10n+6)
4^(10n) • (4^4 + 4^6) = como 4^4 +4^6 = 4352 Termina en 2
4^(10n) = (4^10)^n; como 4^10 = 1048576 Termina en 6; (4^10)^n Termina en 6
y el producto 6• 2 = 12 Termina en 2
Cualquier potencia de un nº que termine en 5 termina en 5
5^(10n+5) = Termina en 5
Cualquier potencia de 9 elevada a un nº impar = Termina en 9; y cualquier potencia de 1 es = 1
9^(10n+9)+1^(10n+1) = termina en cero.
Luego la suma de cada una decena de sumandos termina en 2 + 5 = 7
nº de decenas = 1000000/10 = 100000;
Último dígito = 7 por nº de decenas = 7• 100000 == termina en Cero
Después de sumar el término 70 aparecerá por primera vez el cero como el último dígito de la suma.
Antonio Cebrián Gil, 18-10-2011
Antonio: tu deducción sobre el último número de la suma es correcta.
ResponderEliminarCon respecto a la aparición del primer cero como último dígito de la suma parcial, si bien aparece en el término 71 (7*7+1), el cero aparece varias veces antes...
El último dígito de N^N se repite cada 40 números, pero el último dígito de su suma se repite cada 100. Como 1.000.000 es divisible entre 100, el último dígito pedido es 0, que es el último dígito de la suma hasta 100^100.
ResponderEliminarLa primera vez que la suma acaba en 0 es al sumar 43^43.
Correcto Mmonchi, el cero aparece por vez primera en la posición 43.
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