martes, 8 de diciembre de 2009

268 - Dividiendo a 2009!

¿Cuál es la máxima potencia de 2009 que divide a 2009! (Factorial del 2009)?
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Publicado por Claudio
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7 comentarios:

  1. Anónimo10 de diciembre de 2009, 10:08

    La máxima potencia de 2009! es 2^2001.
    Utilizando la función de Alphonse Polignac (1817-1890), dividimos 2009 entre 2^n donde n es igual a n=1,2,3,4,5,6,7,8,9 y 10. Los cocientes que genera son el 1004,502,251,125,62,31,15,7,3 y 1, que suman los 2001. Por este mismo procedimiento, podemos calcular, 3^1000, 5^500, 7^333, 11^199, 13^165, etc. etc.
    Espero no haberme equivocado.
    Un saludo para Claudio
    Rafael de Barcelona

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  2. Claudio10 de diciembre de 2009, 10:13

    Rafael : quizás no esta claro en el enunciado , pero lo que yo preguntaba era: 2009 elevado a que potencia divide a 2009! ?

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  3. Anónimo10 de diciembre de 2009, 19:14

    2009=41x49,la mayor potencia de 41 y 49 que dividen a 2009! son 50 y 328 respectivamente, luego 2009^2 es la mayor potencia de 2009 que divide a 2009!, lo revizare de todas formas , tengo algunas dudas XD
    Pablo Felipe Martinez Ramos

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  4. Claudio10 de diciembre de 2009, 19:21

    PAblo : Empezaste bien, después parece que comiste mucha torta por tu cumpleaños y te mareaste un poco....

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  5. Anónimo10 de diciembre de 2009, 21:39

    jajaja... asi parece...
    ...154...

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  6. Anónimo11 de diciembre de 2009, 7:49

    Veamos si a la segunda va la vencida.
    La factorización de 2009=7^2*41.
    Por la función de Polignac podemos comprobar que 2009^n (con n=7,49 y 41) divide a 2009!.
    Por la función identidad de Euler, 7=6 y 41=40.
    Como 2,4,6,8,10 y 40 dividen a 2009!, 6*8+2=50
    y 40*1+8=50 también dividirán a 2009!, por tanto
    la máxima potencia de 2009 que divide a 2009! es
    50, o sea
    2009! es scongruente con cero módulo 2009^50.
    Pablo Felipe empieza bien, pero 2009^328 es imposible de que pueda dividir a 2009!.
    Rafael de Barcelona

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  7. Anónimo12 de diciembre de 2009, 19:48

    asi es,solo bastaba elegir la menor potencia entre 41 y 49 ,que es la de 49 por lo que 2009^50 divide a 2009!, u.u rafael nunca dije que la potencia fuera 328, en fin salu2

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