Se puede leer el desarollo y la historia de estos cuadrados mágicos el el siguiente sitio : Magic squares
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jueves, 19 de enero de 2017
1474 - Un nuevo tipo de cuadrado mágico
En base a una idea de William Walkington y a un aporte de Inder Jeet Taneja, Walter Trump desarrolló el siguiente cuadrado mágico, que además de poseer todas las cualidades de un cuadrado mágico tradicional, el área geométrica de cada celda se corresponde con su numero.
domingo, 8 de enero de 2017
1473 - Números como suma de repdigits
Llamamos repdigits a los números que contienen repeticiones de un determinado dígito.
Ejemplos 11, 666, 2 , 333333, etc.
Rodolfo Kurchan propuso la semana pasada en Facebook, encontrar los menores números que no pueden formarse como suma de n repdigits.
Así la serie empieza 10, 21, 320, 2219, 32218,....
21 figura porque es el menor número que necesita al menos tres repdigitos como sumandos para poder formarse : 11+9+1, o 11+8+2, o 11+7+3, 9+8+4, etc
Pregunta 1 : ¿Cómo sigue la serie?
Otras de las preguntas que se hace Rodolfo son:
Supongamos que son válidos todos los números que son suma de repdigts, pero dentro de los sumandos no puede haber dos o mas repdigits de un mismo dígito (por ejemplo no es válido sumar 222+22+6, ya que hay dos repdigits del 2),
Pregunta 2 ¿Cuál es el menor número que no se puede formar?
Pregunta 3 ¿Cuál es el menor primo que no se puede formar con esta misma condición?
Pregunta 4 ¿Con esta nueva condición como sería la serie?
Los primeros números serían los mismos? ya que :
10 = 9+1
21 = 11+8+2
320 = 1+9+88+222
2219 = 11 +99 +444 + 777+ 888
Pero el 131 no hay forma de lograrlo con tres repdigits de digitos distintos, como así tampoco el 861 con cuatro así que la serie en este caso empieza :
10, 21, 131, 861,...
Pregunta 5 ¿Cual es el número con mayor cantidad de dígitos diferentes que se pueden formar sumando Repdigits que no compartan digitos entre ellos?
Por ejemplo
12345 = 3 + 22 + 99 + 4444 + 7777
108942 = 55 + 888 + 99999
Rodolfo me acota que en su libro "Nuevos acertijos con números" que escribió con Jaime Poniachik, había problemas como este último. Aquí van algunos de ellos:
Ejemplos 11, 666, 2 , 333333, etc.
Rodolfo Kurchan propuso la semana pasada en Facebook, encontrar los menores números que no pueden formarse como suma de n repdigits.
Así la serie empieza 10, 21, 320, 2219, 32218,....
21 figura porque es el menor número que necesita al menos tres repdigitos como sumandos para poder formarse : 11+9+1, o 11+8+2, o 11+7+3, 9+8+4, etc
Pregunta 1 : ¿Cómo sigue la serie?
Otras de las preguntas que se hace Rodolfo son:
Supongamos que son válidos todos los números que son suma de repdigts, pero dentro de los sumandos no puede haber dos o mas repdigits de un mismo dígito (por ejemplo no es válido sumar 222+22+6, ya que hay dos repdigits del 2),
Pregunta 2 ¿Cuál es el menor número que no se puede formar?
Pregunta 3 ¿Cuál es el menor primo que no se puede formar con esta misma condición?
Pregunta 4 ¿Con esta nueva condición como sería la serie?
Los primeros números serían los mismos? ya que :
10 = 9+1
21 = 11+8+2
320 = 1+9+88+222
2219 = 11 +99 +444 + 777+ 888
Pero el 131 no hay forma de lograrlo con tres repdigits de digitos distintos, como así tampoco el 861 con cuatro así que la serie en este caso empieza :
10, 21, 131, 861,...
Pregunta 5 ¿Cual es el número con mayor cantidad de dígitos diferentes que se pueden formar sumando Repdigits que no compartan digitos entre ellos?
Por ejemplo
12345 = 3 + 22 + 99 + 4444 + 7777
108942 = 55 + 888 + 99999
Rodolfo me acota que en su libro "Nuevos acertijos con números" que escribió con Jaime Poniachik, había problemas como este último. Aquí van algunos de ellos:
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domingo, 1 de enero de 2017
1472 - La conjetura de Rodolfo
En la entrada 1469 les hablé de un paper que Gustavo Piñeiro leyó y nos comentó en un grupo de chat, en el que se demostraba que cualquier número podía escribirse como la suma de al menos 49 capicúas.
En ese mismo grupo de chat, Rodolfo Kurchan nos avisó que encontró una página en la que se habla de una demostración de Javier Cilleruello en la que cualquier número entero podía expresarse como la suma de tres capicúas.
Rodolfo investigando y probando un poco me comentó que cree que la mayor parte de los números puede expresarse como la suma de dos capicúas en tanto que el resto de los números puede expresarse como suma de dos capicúas siendo uno de ellos un capicúa especial.
Estos capicúas especiales son números capicúas, pero a diferencia de los demás pueden tener uno o mas ceros por delante, es decir que son válidos números como 01610, 00023232000, etc.
Así por ejemplo el año que finalizó y el que acaba de comenzar se pueden expresar como :
2016 = 1441 + 575
2017 = 1331 + 686
Inclusive números grandes como :
20149580973 = 19869096891 + 280484082
Algunos ejemplos que usan el capicúa especial:
2001 = 1001 + 0001000
20201 = 11111 + 09090
2073 = 363 + 01710
91729 = 91619 + 0110
Ahora bien, la pregunta que se hace Rodolfo (y yo también) es si es verdad su conjetura de que cualquier número entero puede ser escrito como suma de dos capicúas (pudiendo ser uno de estos capicúas un capicúa especial)
Actualización (4/01/2017):. Lo que buscamos ahora es el menor número que no puede formarse sumando dos capicúas (pudiendo ser uno o los dos especiales, o no) si la conjetura es falsa, sino demostrar que es verdadera
En ese mismo grupo de chat, Rodolfo Kurchan nos avisó que encontró una página en la que se habla de una demostración de Javier Cilleruello en la que cualquier número entero podía expresarse como la suma de tres capicúas.
Rodolfo investigando y probando un poco me comentó que cree que la mayor parte de los números puede expresarse como la suma de dos capicúas en tanto que el resto de los números puede expresarse como suma de dos capicúas siendo uno de ellos un capicúa especial.
Estos capicúas especiales son números capicúas, pero a diferencia de los demás pueden tener uno o mas ceros por delante, es decir que son válidos números como 01610, 00023232000, etc.
Así por ejemplo el año que finalizó y el que acaba de comenzar se pueden expresar como :
2016 = 1441 + 575
2017 = 1331 + 686
Inclusive números grandes como :
20149580973 = 19869096891 + 280484082
Algunos ejemplos que usan el capicúa especial:
2001 = 1001 + 0001000
20201 = 11111 + 09090
2073 = 363 + 01710
91729 = 91619 + 0110
Ahora bien, la pregunta que se hace Rodolfo (y yo también) es si es verdad su conjetura de que cualquier número entero puede ser escrito como suma de dos capicúas (pudiendo ser uno de estos capicúas un capicúa especial)
Actualización (4/01/2017):. Lo que buscamos ahora es el menor número que no puede formarse sumando dos capicúas (pudiendo ser uno o los dos especiales, o no) si la conjetura es falsa, sino demostrar que es verdadera
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sábado, 31 de diciembre de 2016
miércoles, 21 de diciembre de 2016
sábado, 17 de diciembre de 2016
1469 - Como suma de palindromos
Ayer, Gustavo Piñeiro nos comentó que hay un paper escrito por William D Banks en el que se prueba que cualquier número natural puede expresarse como la suma de 49 palíndromos, incluyendo al cero como palíndromo.
Basado en eso se me ocurrió la siguiente secuencia :
An = es el mínimo número que puede expresarse como la suma de al menos n palíndromos diferentes
Así:
N=1 es 1
N= 2 es 10 (9+1), no son válidos números menores por ejemplo 5 = 4+1, ya que puede expresarse como un solo palíndromo, el mismo 5.
N=3 es 21 (11+9+1)
¿Cómo sigue la secuencia?
Basado en eso se me ocurrió la siguiente secuencia :
An = es el mínimo número que puede expresarse como la suma de al menos n palíndromos diferentes
Así:
N=1 es 1
N= 2 es 10 (9+1), no son válidos números menores por ejemplo 5 = 4+1, ya que puede expresarse como un solo palíndromo, el mismo 5.
N=3 es 21 (11+9+1)
¿Cómo sigue la secuencia?
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miércoles, 7 de diciembre de 2016
1468 - De peón a dama
sábado, 26 de noviembre de 2016
1467 - Formando primos
¿Cuál es la menor cantidad de números (N) que se necesitan para poder formar los primeros primos (P) usando solo sumas y restas?
Por ejemplo con N=2 (con dos números) se pueden formar los primeros 4 primos (P=4)
Usando el 2 y el 5 : 2, 3 (5-2), 5, 7 (5+2)
Otro ejemplo : con N= 5 es posible formar hasta P=22
Usando 2, 5, 6, 12 y 54
2
3=5-2
5
7=5+2
11 = 5+6
13 = 6+5+2
17 = 12+5
19 = 12+5+2
23 = 12+6+5
29 = 54-12-6-5-2
31 = 54-12-6-5
37 = 54-12-5
41 = 54-2-5-6
43 = 54-5-6
47 = 54-5-2
53 = 54+6-5
59 = 54+5
61 = 54+5+2
67 = 54+2+5+6
71 = 54+5+12
73 = 54+ 2+5+12
79 = 54+12+6+5+2
Estos ejemplos no necesariamente son la mejor solución posible.
Encontrar los mayores valores de P para los distintos N (2,3,4,etc)
Por ejemplo con N=2 (con dos números) se pueden formar los primeros 4 primos (P=4)
Usando el 2 y el 5 : 2, 3 (5-2), 5, 7 (5+2)
Otro ejemplo : con N= 5 es posible formar hasta P=22
Usando 2, 5, 6, 12 y 54
2
3=5-2
5
7=5+2
11 = 5+6
13 = 6+5+2
17 = 12+5
19 = 12+5+2
23 = 12+6+5
29 = 54-12-6-5-2
31 = 54-12-6-5
37 = 54-12-5
41 = 54-2-5-6
43 = 54-5-6
47 = 54-5-2
53 = 54+6-5
59 = 54+5
61 = 54+5+2
67 = 54+2+5+6
71 = 54+5+12
73 = 54+ 2+5+12
79 = 54+12+6+5+2
Estos ejemplos no necesariamente son la mejor solución posible.
Encontrar los mayores valores de P para los distintos N (2,3,4,etc)
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lunes, 21 de noviembre de 2016
1466 - Divisibles por los primeros primos
martes, 1 de noviembre de 2016
1465 - De a uno por vez
Es posible, como muestro a continuación, partir de un número de un solo dígito, y a través de sucesivas multiplicaciones ir obteniendo números sin cifras repetidas y que tengan un dígito mas que el anterior
Ejemplo :
Esto se puede lograr empezando por cualquier dígito.
Lo que no sé y me gustaría que me lo digan, si se puede lograr que el producto siempre tenga los mismos dígitos que el número anterior mas un nuevo dígito
Ejemplo truncado :
1
1 x 10 = 10
10 x 13 = 130
130 x 11 = 1430
1430 x 17 = 24310
Ejemplo :
Esto se puede lograr empezando por cualquier dígito.
Lo que no sé y me gustaría que me lo digan, si se puede lograr que el producto siempre tenga los mismos dígitos que el número anterior mas un nuevo dígito
Ejemplo truncado :
1
1 x 10 = 10
10 x 13 = 130
130 x 11 = 1430
1430 x 17 = 24310
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sábado, 24 de septiembre de 2016
1464 - Cuadrados mágicos
En esta ocasión busco cuadrados mágicos (filas, columnas y diagonales suman los mismo) en los que cada dígito aparezca exactamente n veces.
Por ejemplo en este cada uno de los diez dígitos aparece exactamente una vez :
Podemos definir para estos cuadrados tres parámetros :
- ST = Suma total, es decir la suma de todos los términos, en el ejemplo da 54.
- Min = Valor mínimo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 2
- Max = Valor máximo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 10.
Busco para cada condición indicada la mayor y la menor ST, el mayor y el menor Min y el mayor y menor Max.
Estos son los cuadrados que yo encontré para las siguientes condiciones:
A) Cada dígito aparece exactamente dos veces :
A.1 Menor ST = 684, Mayor Max = 130, Menor Min = 22
A.2 Menor Max = 120
A.3 Mayor ST =711, Mayor Min = 36
B) Cada dígito aparece exactamente tres veces en el cuadrado, y no se repiten dígitos ni en las columnas ni en las filas:
B.1 Menor ST = 8478
B.2 Mayor ST = 8748, Mayor Min =360
B.3 Menor Min = 203, Mayor Max = 1687
B.4 Menor Max = 1572
C) Cada dígito aparece exactamente cuatro veces
C.1 Menor ST = 80784, Menor Min = 2244, Mayor Max = 15708
C.2 Mayor ST= 86814. Mayor Min = 5565 , Menor Max = 13727
D) cada dígito aparece exactamente cinco veces:
D.1 Menor ST = 959688, Mayor Min = 38506, Menor Max = 174758
D.2 Mayor ST = 1183248 , Menor Min = 7968 , Mayor Max = 254976
Es casiseguro que todos estos valores se pueden mejorar ya que mi busqueda no fue exhaustiva. Espero contribuciones.
Inclusive se pueden formar cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece n veces, donde n > 5
Por ejemplo en este cada uno de los diez dígitos aparece exactamente una vez :
Podemos definir para estos cuadrados tres parámetros :
- ST = Suma total, es decir la suma de todos los términos, en el ejemplo da 54.
- Min = Valor mínimo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 2
- Max = Valor máximo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 10.
Busco para cada condición indicada la mayor y la menor ST, el mayor y el menor Min y el mayor y menor Max.
Estos son los cuadrados que yo encontré para las siguientes condiciones:
A) Cada dígito aparece exactamente dos veces :
A.1 Menor ST = 684, Mayor Max = 130, Menor Min = 22
A.2 Menor Max = 120
A.3 Mayor ST =711, Mayor Min = 36
B) Cada dígito aparece exactamente tres veces en el cuadrado, y no se repiten dígitos ni en las columnas ni en las filas:
B.1 Menor ST = 8478
B.2 Mayor ST = 8748, Mayor Min =360
B.3 Menor Min = 203, Mayor Max = 1687
B.4 Menor Max = 1572
C) Cada dígito aparece exactamente cuatro veces
C.1 Menor ST = 80784, Menor Min = 2244, Mayor Max = 15708
C.2 Mayor ST= 86814. Mayor Min = 5565 , Menor Max = 13727
D) cada dígito aparece exactamente cinco veces:
D.1 Menor ST = 959688, Mayor Min = 38506, Menor Max = 174758
D.2 Mayor ST = 1183248 , Menor Min = 7968 , Mayor Max = 254976
Es casiseguro que todos estos valores se pueden mejorar ya que mi busqueda no fue exhaustiva. Espero contribuciones.
Inclusive se pueden formar cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece n veces, donde n > 5
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sábado, 17 de septiembre de 2016
1463 - Una serie de Rodolfo
Rodolfo Kurchan publicó en un grupo de Facebook la siguiente serie :
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,23,14,20,13, 24,15,26,17,25,16,27,18,....
Donde a(n) es el menor número aún no presente en la serie tal que a(n-1) y a(n) en conjunto no tienen ningún dígito repetido.
La pregunta que hace Rodolfo es ¿Cuál es el último número de esta serie?
Yo propuse 78642, pero no estoy seguro. ¿Habrá algún método de encontrarlo sin utilizar la fuerza bruta? ¿Es ese el último número de la serie?
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,23,14,20,13, 24,15,26,17,25,16,27,18,....
Donde a(n) es el menor número aún no presente en la serie tal que a(n-1) y a(n) en conjunto no tienen ningún dígito repetido.
La pregunta que hace Rodolfo es ¿Cuál es el último número de esta serie?
Yo propuse 78642, pero no estoy seguro. ¿Habrá algún método de encontrarlo sin utilizar la fuerza bruta? ¿Es ese el último número de la serie?
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lunes, 22 de agosto de 2016
1462 - Primos en un pandigital
Tratando de resolver el puzzle de esta semana , Primes inside a sudoku solutions, del site de Carlos Rivera se me ocurrió estas preguntas:
1 .¿Cuál es el número zero less pandigital (tiene cada uno de los dígitos del 1 al 9 una y solo una vez) que tiene la mayor cantidad de primos dentro?
2 Lo mismo que la pregunta uno, pero tomando primos en ambas direcciones y considerando los primos diferentes
Por ejemplo :
123456789 tiene 9 primos si lo vemos de izquierda a derecha solamente : 2, 23, 2345789, 3, 4567, 5, 67, 7 y 89
En cambio si tomamos ambas direcciones encontramos dos primos mas 43 y 76543.
Yo encontré uno que tiene 18 si tomamos una sola dirección y 26 contando las dos, pero no sé si es el que mas primos tiene, ya me dirán ustedes.
1 .¿Cuál es el número zero less pandigital (tiene cada uno de los dígitos del 1 al 9 una y solo una vez) que tiene la mayor cantidad de primos dentro?
2 Lo mismo que la pregunta uno, pero tomando primos en ambas direcciones y considerando los primos diferentes
Por ejemplo :
123456789 tiene 9 primos si lo vemos de izquierda a derecha solamente : 2, 23, 2345789, 3, 4567, 5, 67, 7 y 89
En cambio si tomamos ambas direcciones encontramos dos primos mas 43 y 76543.
Yo encontré uno que tiene 18 si tomamos una sola dirección y 26 contando las dos, pero no sé si es el que mas primos tiene, ya me dirán ustedes.
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jueves, 18 de agosto de 2016
sábado, 13 de agosto de 2016
jueves, 11 de agosto de 2016
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