domingo, 1 de enero de 2017

1472 - La conjetura de Rodolfo

En la entrada 1469 les hablé  de un paper que Gustavo Piñeiro leyó y nos comentó en un grupo de chat, en el que se demostraba que cualquier número podía escribirse como la suma de al menos 49 capicúas.
En ese mismo grupo de chat, Rodolfo Kurchan nos avisó que encontró una página en la que se habla de una demostración de Javier Cilleruello en la  que cualquier número entero podía expresarse como la suma de tres capicúas.

Rodolfo investigando y probando un poco me comentó que cree que la mayor parte de los números puede expresarse como la suma de dos capicúas en tanto que el resto de los números puede expresarse como suma de dos capicúas siendo uno de ellos un capicúa especial. 
Estos capicúas especiales son números capicúas, pero a diferencia de los demás pueden tener uno o mas ceros por delante, es decir que son válidos números como 01610, 00023232000, etc.

Así por ejemplo el año que finalizó y el que acaba de comenzar se pueden expresar como :

2016 = 1441 + 575 
2017 = 1331 + 686

Inclusive números grandes como :
20149580973 = 19869096891 + 280484082

Algunos ejemplos que usan el capicúa especial:

2001 = 1001 + 0001000
20201 = 11111 + 09090
2073 = 363 + 01710
91729 = 91619 + 0110

Ahora bien, la pregunta que se hace Rodolfo (y yo también) es si es verdad su conjetura de que cualquier número entero puede ser escrito como suma de dos capicúas  (pudiendo ser uno de estos capicúas un capicúa especial)

Actualización (4/01/2017):. Lo que buscamos ahora es el menor número que no puede formarse sumando dos capicúas (pudiendo ser uno o los dos especiales, o no) si la conjetura es falsa, sino demostrar que es verdadera
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18 comentarios:

  1. Creo que 1200 requiere de dos capicúas especiales, no solo uno como afirma RK, a menos que mi programa tenga algún defecto.

    Mi solución es: 1200 = 00100 + 001100.

    Me gustaría saber cual es la solución con un solo capicúa especial.

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    1. Si para algunos números que terminan con 0, se usan 2 capicúas especiales
      Igualmente la conjetura resultó falsa. Podes encontrar el listado de los números que no tienen solución ?

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    2. Claro, cuántos números quieres que enliste Rodolfo?

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  2. Creo que se debe matizar si el cero (0) es válido como capicúa, igual que el 1, 2, 3, etc.
    Si lo es, entonces 1200 (y cualquier número terminado en 0) se puede expresar como 001200+0; en caso contrario es cierto lo que dice Carlos, se necesitan 2 especiales.

    Vicente iq.

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    1. Si, el 0 es válido como capicúa.
      Pero 001200 no lo es.
      En cambio también es válido 0001000 + 00200 (solución de Rodolfo para 1200)

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    2. cierto Claudio, error mío.

      Vicente iq.

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  3. 103399=99399+4000
    103489=98489+5000
    103579=97579+6000
    103669=96669+7000
    103759=95759+8000

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  4. Los 100 primeros:

    113001, 114001, 115001, 116001, 117001, 118001, 119001, 122002, 122202, 122602, 122702, 122802, 122902, 123102, 123302, 123402, 123602, 123702, 123802, 123902, 124002, 124302, 124402, 124702, 124802, 124902, 125002, 125102, 125302, 125402, 125602, 125802, 125902, 126002, 126102, 126402, 126602, 126702, 126902, 127002, 127102, 127302, 127602, 127702, 127802, 128002, 128102, 128302, 128402, 128602, 128702, 128802, 128902, 132003, 132103, 132303, 132403, 132603, 132903, 133003, 133141, 133303, 133503, 133803, 134103, 134151, 134203, 134403, 134503, 134603, 134803, 134903, 135103, 135161, 135203, 135403, 135503, 135603, 135903, 136003, 136171, 136203, 136403, 136503, 136603, 136803, 137003, 137103, 137403, 137503, 137603, 137803, 137903, 138103, 138203, 138403, 138503, 138603, 138803, 138903.

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    1. Mmonchi, ¿Cuál sería el primero de siete cifras, que no se puede formar como suma de dos capicúas?

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    2. No lo sé. Lo he resuelto con una tabla Excel hasta un millón. Tendré que repetirlo con una tabla mayor, y ya está cerca del límite. A ver si mañana puedo.

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    3. Ok, Rodolfo me señala que curiosamente (o no), todos los que no cumplen tiene la segunda cifra igual a la última. Será esa una condición de todos los que no cumplen?

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    4. El primero de siete cifras es 1000198.
      El primero que no tiene iguales la segunda cifra y la última es 133141.
      Hay 2140 entre 1 y 500000, 1072 entre 500001 y 1000000, 614 entre 1000001 y 1500000.

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  5. Definitivamente la conjetura no funciona. En su forma original (una capicúa normal y otra especial) la primera falla se presenta en 1200. Si se modifica la conjetura original para permitir dos capicúas especiales, la primera falla se presenta en 113001 -como ya anotó Mmonchi.

    Lo más que puede decirse es que Rodolfo tuvo el buen ojo para observar que una buena cantidad de enteros se puede expresar como suma de dos capicúas normales, que otro tanto de enteros se puede expresar como suma de una normal y otra especial, pero queda un remanente inexpresable de enteros como suma de dos capicúas de cualquier tipo.

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    1. Corrijo:

      Lo más que puede decirse es que Rodolfo tuvo el buen ojo para observar que una buena cantidad de enteros se puede expresar como suma de dos capicúas normales, que otro tanto de enteros se puede expresar como suma de una capicúa normal y otra especial, que otro tanto de enteros se puede expresar como suma de dos capicúas especiales, pero queda un remanente inexpresable de enteros como suma de dos capicúas de cualquier tipo.

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  6. Creía que se podría demostrar que hay infinitas soluciones asumiendo que si un número no es suma de dos capicúas, el mismo número multiplicado por 10 tampoco lo es. Pero me he llevado dos sorpresas:

    1130010 no está en la lista. Y efectivamente, 1130010=90709+1039301.

    Entre los primeros 3826 números que no son suma de dos capicúas, ninguno acaba en 0.

    Se dan todas las demás terminaciones, pero la cantidad de soluciones acabadas en 1 es significativamente menor que las acabadas en 2, y así hasta las acabadas en 8 que son más que las acabadas en 7; en cambio las acabadas en 9 son menos que las acabadas en 8. Esto pasa tanto si tomo soluciones hasta 1000000 como si las tomo hasta 1500000.

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  7. Curiosidad: 113001 =-91019 + 0204020. Quizá la conjetura de Rodolfo tiene salvación hablando de suma algebráica de dos palindromos, uno normal y otro especial.

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    1. Hace unos días, cuando aparecieron los primeros contraejemplos, le sugerí a Rodolfo que buscáramos si dichos números podían expresarse como resta de capicúas. Pero los valores que teníamos eran distintos a los de mMonchi.
      Sería cuestión de buscar .

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