lunes, 3 de enero de 2011

591 - Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece una misma cantidad de veces

Sobre los cuadrados mágicos (aquellos en los la suma de la columnas, filas y diagonales suman lo mismo) se ha escrito muchísimo y desde hace mucho tiempo.
Se han encontrado miles de variantes y varias son realmente extraordinarias.
Además de los cuadrados clásicos en los que se colocan los números del 1 al n2 en cuadrados de n x n, existen aquellos en los se ponen números consecutivos (no empezando necesariamente por el uno), y aquellos en los que  los números no son consecutivos. Hay cuadrados mágicos, multimágicos o diabólicos, antimágicos y hasta alfamágicos . También se hicieron cuadrados dentro de cuadrados, cuadrados hechos por números primos, y hasta cuadrados hechos con números pandigitales como el que logró Rodolfo Kurchan
Este último tiene la particularidad, al estar hecho por números pandigitales, que si contamos la cantidad de veces que aparece cada dígito vemos que obviamente es la misma para todos ellos, es decir que en todo el cuadrado hay exactamente dieciseis ceros, dieciseis unos, etc.
Basado en este cuadrado empecé a buscar cuadrado mágicos de orden tres en los que todos los dígitos aparezcan una misma cantidad de veces.
Así encontré estos cuadrados mágicos :

a)      Cuadrado mágico en el que cada dígito aparece exactamente una vez :

9
2
7
4
6
8
5
10
3

b) Cuadrados mágicos en el que cada dígito aparece exactamente dos veces







107
32
89
58
76
94
63
120
45

105
30
93
64
76
88
59
122
47

103
36
98
74
79
84
60
122
55

105
34
98
72
79
86
60
124
53

103
30
95
68
76
84
57
122
49

109
22
97
64
76
88
55
130
43

107
22
99
68
76
84
53
130
45


c) Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece exactamente tres veces



1329
276
996
534
867
1200
738
1458
405

1560
348
972
372
960
1548
948
1572
360

1572
360
984
384
972
1560
960
1584
372

En los siguientes también se da la particularidad de que en cada fila y en cada columna aparece cada dígito una sola vez

1645
203
987
287
945
1603
903
1687
245

1542
306
978
378
942
1506
906
1578
342

1560
342
978
378
960
1542
942
1578
360

1560
348
972
372
960
1548
948
1572
360

1572
360
984
384
972
1560
960
1584
372

El siguiente cuadrado en el que cada dígito aparece tres veces,  es el único en la que en cada fila y columna aparece algún dígito repetido y el único que tiene una diagonal en la que no se repite ningún dígito

1329
276
996
534
867
1200
738
1458
405

d) Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece exactamente cuatro veces

22950
204
18156
8976
13770
18564
9384
27336
4590

El siguiente presenta dos números capicúas (7667 y 3553)

14399
2244
10285
4862
8976
13090
7667
15708
3553

12985
5565
10388
7049
9646
12243
8904
13727
6307

13774
4656
10379
6208
9603
12998
8827
14550
5432

e) Cuadrados mágicos en los que cada digito aparece cinco veces

154024
38506
127366
79974
106632
133290
85898
174758
59240

227088
7968
159360
63744
131472
199200
103584
254976
35856

El desafío queda abierto, habría que encontrar otros cuadrados mágicos de orden tres o mayores en los que cada digito aparezca  una igual cantidad de veces

Pd: usando un programa de computación he encontrado cientos de ejemplos diferentes, que no estan aquí.
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3 comentarios:

  1. Antonio Cebrian Gil19 de febrero de 2011, 18:03

    Cuadrado mágico de orden 4 en el que cada dígito aparece 4 veces.

    15 36 47 28
    27 48 35 16
    38 17 26 45
    46 25 18 37

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  2. Làstima que el nueve y el cero no aparecen...

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