1495 - Expresar un número austeramente

El número 6 lo podemos reemplazar por 2x3, siendo la suma de los números que aparecen en la expresión, 5 (2+3)

El 20 = 4x5 y a 2 x 3^2 + 2 . 
Ambas expresiones suman 9 pero una usa dos términos y la otra cuatro, elegimos en este caso para igual suma la que menos términos usa o sea 4x5. 
En caso de por ejemplo reemplazar 100 por 10^2 el resultado es 12

En caso de que haya dos expresiones con igual cantidad de términos e igual suma, elegimos aquella en la que el número mas grande es el menor
 
Así tenemos para los primeros 10 números
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 4
5 = 5
6 = 2x3 = 5
7 = 2x3+1 = 6
8 = 2^3 =5
9 = 3^2 = 5
10 = 3^2+1 = 6

A) Se puede mejorar estos resultados? (no es válido usar el 0^0)
B) En este caso el mayor valor es 6 (tratando siempre de minimizar los resultados),  ¿Cuál es el (menor) mayor valor que obtenemos si extendemos los resultados al 100, y al 1000?

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1495 - Expresar un número austeramente

1494 - N! múltiplo de N^X

James Tanton plantea encontrar un número N tal que N! es múltiplo de N^6.
Podemos ampliar la búsqueda a Ns, tal que N! es múltiplo de N^x 

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1494 - N! múltiplo de N^X

1493 - Día 251

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1493 - Día 251

1492 - Pandigitales como concatención de potencias

En este caso el pandigital aparece al concatenar dos potencias.

Ejemplo (el caso mas conocido es)

5³//76³= 125438976 
2⁹//76³= 512438976 
8³//76³= 512438976 
2³//17⁶= 824137569

 18⁴//18³ = 1049765832 
 5³//44⁴ = 1253748096 
6⁴//93³ = 1296804357 
2⁹//44⁴= 5123748096 
8³//44⁴= 5123748096 
18³//18⁴= 5832104976 
3⁶//48⁴= 7295308416 
9³//48⁴= 7295308416 
21³//93³= 9261804357  

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1492 - Pandigitales como concatención de potencias

1491 - Pandigitales como concatenación de potencias

En este caso concateno el resultado de dos potencias y el número obtenido lo factoreo y los factores tienen todos los dígitos una y solo una vez


15³ // 20³   =  33758000   =  2⁴ x 5³ x 16879 

  2⁶ // 41⁴   =  642825761  = 10847 x 59263 
  4³ // 41⁴   =  642825761  = 10847 x 59263 
  8² // 41⁴   =  642825761  = 10847 x 59263 

 28³ // 43³  = 2195279507 =  8419 x 260753


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1491 - Pandigitales como concatenación de potencias

1490 - Pandigitales como suma de potencias II

En este caso la suma de dos potencias dan como resultado un número cuyos factores usan cada uno de los dígitos una y solo una vez:



El único ejemplo que encontré es el siguiente:

  22² + 43⁶ =  6321363533 = 73 x 86594021

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1490 - Pandigitales como suma de potencias II

1489 - Pandigitales como suma de potencias I

Comienzo aquí una serie de entradas relacionadas.
En esta primera busco suma de potencias que den números pandigitales.
Aquí van los que yo encontré :

Pandigitales sin cero: 
   8⁹   + 44⁴  =   137965824  
  3¹³   + 15⁷  =  172453698 
  4¹³  + 47⁵  =   296453871 
  6¹¹  + 33²  =   362798145 
  4¹⁴  + 41⁵  =   384291657 
  16⁷  + 41⁵   =  384291657 
  17⁵  + 29⁶   =  596243178 
   
Pandigitales con cero
  7¹¹  + 20⁵   = 1980526743
 10⁵   + 11⁹   = 2358047691 
 15⁸   + 18⁵   = 2564780193 
  9¹⁰  + 15⁶   = 3498175026 
  9⁸   +  39⁶   = 3561790482 
 18⁴  +  42⁶   = 5489136720


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1489 - Pandigitales como suma de potencias I

1488 - Menos primos en un pandigital

Espero no repetirme como ayer. 😜

En este caso busco lo inverso, el pandigital (con cada uno de los 9 digitos una y solo una vez) con menos primos dentro, obviamente que menos de cuatro es imposible, pero hay alguno con solo cuatro (2,3,5,7)?

Por ejemplo 915482763 tiene seis : 2, 3, 5, 7,  827 y 82763
Y si hay con cuatro, cuantos hay?
Lo mismo para panditales con un cero

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1488 - Menos primos en un pandigital

1487 - Pandigital con mas primos

La idea es encontrar el menor pandigital  (número que contiene los 9 dígitos una y solo una vez) con la mayor cantidad de primos dentro. 

Por ejemplo 123456789 contiene 9 primos (de los 46 números que se forman en él ) : 2, 3, 5, 7, 23, 67, 4567 y 23456879
y el 987654321 contiene solo seis: 2, 3, 5, 7, 43 y 76543

Yo encontré uno con 16 primos, pero no verifiqué que sea el  de mas primos.

¿Qué pasa si incluimos también el cero?

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1487 - Pandigital con mas primos

1486 - Con los dígitos de 2017 en orden

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1486 - Con los dígitos de 2017 en orden

1485 -

12 es el menor número que puede expresarse de tres formas como suma de tres números usando nueve números diferentes.

12 = 0+4+8, 1+5+6, 2+3+7

17 es el menor número (?) que puede expresarse de cuatro formas como suma de tres números usando doce números diferentes.

17 = 0+8+9, 1+5+11, 2+3+12 y 4+6+7

¿Cuáles son los menores números que pueden expresarse de n formas usando nx3 números diferentes?, donde n = 5, 6, etc  

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1485 -

1484 - Sumando de a tres

El número 12 es el menor número que puede formarse con tres sumas de tres números no repetidos en ninguna de las sumas.
Además puede hacerse de dos formas distintas:

12 = 0+4+8, 1+5+6, 2+3+7
12 = 0+5+7, 1+3+8, 2+4+6

Para el 13 yo encontré 6 5 formas

13 = 0+2+11, 1+5+7, 3+4+6
13 = 0+3+10, 1+4+8, 2+5+6

13 = 0+4+9,   1+3+9, 2+5+6

13 = 0+4+9,   1+5+7, 2+3+8
13 = 0+5+8, 1+2+10, 3+4+6
13 = 0+5+8, 1+3+9,  2+4+7

Encontrar la cantidad de soluciones para n=14, 15, etc
Existe una fórmula para encontrar la cantidad de soluciones?
La serie comienza así : 2, 5, ...

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1484 - Sumando de a tres

1483 - 2017 con otros primos

2017 además de ser un número primo, tiene todos los dígitos diferentes.
Basado en esto se me ocurrió la siguiente pregunta:
¿En cuántos conjuntos de primos, todos con los diez dígitos una sola vez presentes, puede participar el 2017?

Aquí van unos ejemplos de estos conjuntos :

{2017, 5, 89, 463}  y  {2017, 5, 89, 643}

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1483 - 2017 con otros primos

1482 - Igualdades sin iguales

   2016 = 7 x 9 x (3+5) x (8-4)

En esta igualdad se utiliza cada dígito una sola vez.

Seguramente es posible formar muchos números usando todos los dígitos una sola vez de esta forma (a ambos lados de la igualdad). 

La pregunta es, 

¿Cuál es el primero que NO se puede formar*?

 Es válido usar suma, resta, multiplicación, división, concatenación, potencias, raíces y paréntesis.
 

* Que no tenga dígitos repetidos, como bien me señala Mmonchi

 

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1482 - Igualdades sin iguales

1481 - Cadena de primos formados por no primos

2, 3, 5 y 7 son los dígitos primos

41 es primo

941 es primo

8941 es primo

08941 es primo

608941 es primo 

Todos ellos son primos

formados solo por dígitos no primos.

608941 contiene a  su vez a todos 

los dígitos no primos.

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1481 - Cadena de primos formados por no primos

1480 - Conjeturando sobre la suma de potencias de dos primos

Tomemos dos primos como por ejemplo 2 y 3.
Calculemos todas las sumas posibles del tipo :
2^m + 3ⁿ
donde m y n pueden tomar cualquier valor mayor a 0 y pueden ser iguales entre sí
Así obtendremos como resultados de esas sumas : 5, 7, 11, 13, 17, 19, 25, 29, 31, 35, etc.
De los números compuestos obtenidos veamos sus factores, así por ejemplo 259 = 7x37,  265 = 5x53.

Yo calculé todos las sumas posible para n y m entre 1 y 20 (400 sumas) y veo que entre los resultados, ya sea en la suma en sí o en sus factores, están  muchos de los primos menores a 200.
Salvo el 23, 47, 71, 167 y 191 están todos los otros, muchos como resultados directos de las sumas correspondientes y otros como factores.
La preguntas son las siguientes (preguntar es fácil, responder es lo difícil) :

1. Aparecerán todos los primos?, ya sea como suma directa, ya sea como factores de esas sumas.
2. Ocurre algo similar independientemente de los primos que tomemos como bases?
3. Alguien puede encontrar si aparecen el 23, el 47, etc?

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1480 - Conjeturando sobre la suma de potencias de dos primos

1479 - Continuando con Goldbach

A raíz del problema anterior, Graeme McRae encontró  solo dos números pares menores a 1000 (8 y 12)  que al sumarles cada uno de los primos que forman el par cuya suma da dicho número, esta suma da un número primo.
Para aclarar:

8   = 3+5 y 8+3 y 8+5 son números primos
12 = 5+7 y 12+5 y 12+7 son números primos
Para todo otro número par menor a 1000
Si P = m_i  + n_i   alguna de las sumas P + m_i ó P + n_i  es compuesto
Por ejemplo para 16
16 = 3+13 = 5+11 y la sumas 16+5 y 16+11 dan un número compuesto.

Hay muchos números pares en los que alguna de las sumas da primo, pero no en todas.


Por otra parte Graeme señala que 8, 12, 18, 24, y  30 son los únicos números en los que todas las sumas dan un número primo o que todas las sumas menos una da un número primo.

Por ejemplo 
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
Son primos 24+5, 24+19, 24+7, 24+17, y 24+13 pero 24+11 es compuesto.


¿Alguien puede encontrar algún otro ejemplo además del 8 y el 12 en los que todas las sumas dan números primos?

¿Alguien puede encontrar algun otro número par en las que todas las sumas menos una da un número primo? 

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1479 - Continuando con Goldbach

1478 - Conjetura de Goldbach

La conjetura de Goldbach dice : 

Todo número par mayor a dos puede expresarse como suma de dos primos.
o sea P = a + b 
donde P =  Nº par mayor a dos y a y b son números primos.
Así :
4= 2+2
6= 3+3
8= 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
etc

Ahora bien que pasa si a P le sumamos a o b, se obtendrá siempre al menos un número primo?
Lamentablemente no.
Por ejemplo 28 = 5+23 = 11+17 y 28+5, 28+23, 28+11 y 28+17 son todos números compuestos.
Los siguientes números pares no dan un primo cuando le sumamos alguno de estos primos
4, 6, 28, 38, 52, 58, 62, 68, 74, 80, 82  etc.

¿Cuáles son los primeros x pares consecutivos que no están en la secuencia? Donde x = 3, 4, etc.

¿Qué pasa si el primo a sumar puede ser cualquier primo?
Aparentemente siempre se puede encontrar un primo que sumado a un número par de un número primo.
Alguien puede demostrarlo o refutarlo?
Quizás ya está comprobado, disculpen mi desconocimiento sobre el tema.

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1478 - Conjetura de Goldbach

1477 - Capicúas raros

64446 es un capicúa raro.
Es raro porque es la suma de dos primos consecutivos, 
64446 = 32213 + 32233
y además es la suma de dichos primos invertidos, 
64446 = 31223 + 33223

Otro ejemplo de capicúa raro es 264080462, ya que
264080462 = 132040201 + 132040261
y
264080462 = 102040321 + 162040231

¿Habrá otros ejemplos?


Sobre una idea de ady Tzidon

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1477 - Capicúas raros

1476 - Pares que suman cuadrados

Rafael Cerezo Perez me comentó que vio en internet lo siguiente:
La suma de los números 184 y 345, al igual que la de sus cuadrados y sus cubos dan cuadrados perfectos ¿Existen otros números con esta característica?

Buscando pares hasta el 10000, yo encontré estos pares que cumplen lo pedido,

184  y  345
736   y 1380
1656  y  3105
2944  y 5520
4600  y  8625

¿Mas ejemplos?
¿Existen pares en los cuales las sumas de potencias mas grandes además de las pedidas sean también sean cuadrados (cuarta, quinta, etc)?

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1476 - Pares que suman cuadrados