martes, 20 de febrero de 2018

1504 - Suma de potencias con comienzos particulares

En el problema de octubre de la página Math Magic, se pedía encontrar un par de numeros positivos x e y , tal que xn + yn empiece con los mismos digitos que  xm + ym donde n > m > 1

Como ejemplo daban 
6922 + 11182 = 1728788 y 6923 + 11183 = 1728788920, 
que como vemos ambos resultados empiezan con los mismos digitos.
Los lectores enviaron varios resultados mas.

Yo pensé una variante que la muestro con el  siguiente ejemplo: 

22 + 132 = 173  y  25 + 135 = 371325

Nótese que el segundo resultado empieza con los mismos dígitos que el primero pero invertidos.

Otros resultados que encontré:

23 + 43 = 72   y   24 + 44 = 272
22 + 72 = 53   y   23 + 73 = 351
42 + 92 = 97   y   43 + 93 = 793

Otros resultados?

Como en el problema original, también podemos buscar {x, y, ... , z, m, n} con la propiedad de que  xn + yn + . . . + zn comiencen con los digitos invertidos de  xm + ym + . . . + zm
 
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5 comentarios:

  1. algunos ejemplos más con un par de números:
    2^2+3^2=13 y 2^22+3^22=31385253913
    2^3+3^3=35 y 2^12+3^12=535537
    2^2+9^2=85 y 2^27+9^27=58149737003040059824607897
    6^3+7^3=559 y 6^26+7^26=9558062065827332513905
    ...

    Vicente iq.


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  2. Creo que siempre hay solución. Primero calculo x^n + y^n + ... + z^n y le doy la vuelta, I. Después mediante logaritmos calculo k que hace (z/y)^k>I, siendo z el mayor e y el siguiente. Y después voy dando valores a z^m hasta que empiece por I. Una vez que lo encuentro compruebo que la suma de las demás no altera el último decimal y si es así ya está.

    Cuanto mayor es m más improbable es que si z^m empieza por I no lo haga la suma total. Y para calcular z^(m+1) a partir de z^m solo tengo que multiplicar, sin preocuparme de calcular todos los decimales.

    Un ejemplo. Tomo los números 2, 3, 4 y 5. 2^5+3^5+4^5=1299. k es 32, así que busco 4^m que empiece por 9921 con m>32. Lo encuentro para m=5144. 5144*log10(4)=3096,996595, y 10^0,996595=9921,912. La siguente potencia no nos afecta porque 5144*log10(3)=2454,31, es decir que tiene unos 600 dígitos menos. Por tanto 2^5144+3^5144+4^5144=9921912...

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    1. Según tu razonamiento, esto mismo debería funcionar para el problema original planteado en Math Magic

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  3. Sí, creo que se puede encontrar cualquier suma o diferencia de potencias iguales que empiece por cualquier número. El exponente de las potencias puede llegar a ser muy alto, pero siempre existirá.

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  4. Por ejemplo:

    3^20946+14^20946+16^20946=31416,421208*10^25217

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